Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sin (x + \frac{π}{2})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = x + \frac{π}{2}$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + \frac{π}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + \frac{π}{2}$ .

$\cos (x + \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + \frac{π}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}]$ .

$\cos (x + \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}])$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\cos (x + \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}])$

Étape 1.2.3

Comme $\frac{π}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{π}{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\cos (x + \frac{π}{2}) (1 + 0)$

Étape 1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\cos (x + \frac{π}{2}) \cdot 1$

Étape 1.2.4.2

Multipliez $\cos (x + \frac{π}{2})$ par $1$ .

$f' (x) = \cos (x + \frac{π}{2})$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = x + \frac{π}{2}$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + \frac{π}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + \frac{π}{2}$ .

$- \sin (x + \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + \frac{π}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}]$ .

$- \sin (x + \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}])$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \sin (x + \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}])$

Étape 2.2.3

Comme $\frac{π}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{π}{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \sin (x + \frac{π}{2}) (1 + 0)$

Étape 2.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$- \sin (x + \frac{π}{2}) \cdot 1$

Étape 2.2.4.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = - \sin (x + \frac{π}{2})$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sin (x + \frac{π}{2})$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sin (x + \frac{π}{2})]$ .

$- \frac{d}{d x} [\sin (x + \frac{π}{2})]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = x + \frac{π}{2}$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + \frac{π}{2}$ .

$- (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}])$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$- (\cos (u) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + \frac{π}{2}$ .

$- (\cos (x + \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}])$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + \frac{π}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}]$ .

$- \cos (x + \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}])$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \cos (x + \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}])$

Étape 3.3.3

Comme $\frac{π}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{π}{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \cos (x + \frac{π}{2}) (1 + 0)$

Étape 3.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$- \cos (x + \frac{π}{2}) \cdot 1$

Étape 3.3.4.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f''' (x) = - \cos (x + \frac{π}{2})$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (x + \frac{π}{2})$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (x + \frac{π}{2})]$ .

$- \frac{d}{d x} [\cos (x + \frac{π}{2})]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = x + \frac{π}{2}$ .

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Étape 4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + \frac{π}{2}$ .

$- (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}])$

Étape 4.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$- (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}])$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + \frac{π}{2}$ .

$- (- \sin (x + \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}])$

Étape 4.3

Différenciez.

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Étape 4.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\sin (x + \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}])$

Étape 4.3.2

Multipliez $\sin (x + \frac{π}{2})$ par $1$ .

$\sin (x + \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}]$

Étape 4.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + \frac{π}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}]$ .

$\sin (x + \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}])$

Étape 4.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\sin (x + \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}])$

Étape 4.3.5

Comme $\frac{π}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{π}{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\sin (x + \frac{π}{2}) (1 + 0)$

Étape 4.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.6.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\sin (x + \frac{π}{2}) \cdot 1$

Étape 4.3.6.2

Multipliez $\sin (x + \frac{π}{2})$ par $1$ .

$f^{4} (x) = \sin (x + \frac{π}{2})$

Étape 5

La dérivée quatrième de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\sin (x + \frac{π}{2})$ .

$\sin (x + \frac{π}{2})$