Calcul infinitésimal Exemples

$x (\cos (2 x))$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \cos (2 x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$x (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (- 2 \sin (2 x) \cdot 1) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) \cdot 1$

Étape 1.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.6.1

Multipliez $\cos (2 x)$ par $1$ .

$x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x)$

Étape 1.3.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2 x \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x \sin (2 x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x \sin (2 x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x \sin (2 x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \sin (2 x)$ .

$- 2 (x \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 x$ .

$- 2 (x (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 2.2.3.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$- 2 (x (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$- 2 (x (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 2.2.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (x (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 2.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 (x (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 2.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 (x (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 2.2.7

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 2 (x (\cos (2 x) \cdot 2) + \sin (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 2.2.8

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$- 2 (x (2 \cdot \cos (2 x)) + \sin (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 2.2.9

Multipliez $\sin (2 x)$ par $1$ .

$- 2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x$ .

$- 2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) + \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.3.1.2

La dérivée de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \sin (u_{2})$ .

$- 2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x$ .

$- 2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - \sin (2 x) (2 \cdot 1)$

Étape 2.3.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - \sin (2 x) \cdot 2$

Étape 2.3.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 2 \sin (2 x)$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 (x (2 \cos (2 x))) - 2 \sin (2 x) - 2 \sin (2 x)$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.4.2.1

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- 4 (x (\cos (2 x))) - 2 \sin (2 x) - 2 \sin (2 x)$

Étape 2.4.2.2

Soustrayez $2 \sin (2 x)$ de $- 2 \sin (2 x)$ .

$f'' (x) = - 4 x \cos (2 x) - 4 \sin (2 x)$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 4 x \cos (2 x) - 4 \sin (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 4 x \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x \cos (2 x)]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x \cos (2 x)$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x \cos (2 x)]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \cos (2 x)$ .

$- 4 (x \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 3.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 x$ .

$- 4 (x (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$

Étape 3.2.3.2

La dérivée de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \sin (u_{1})$ .

$- 4 (x (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$

Étape 3.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$- 4 (x (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$

Étape 3.2.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 (x (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$

Étape 3.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 4 (x (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$

Étape 3.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 4 (x (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \cos (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$

Étape 3.2.7

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 4 (x (- \sin (2 x) \cdot 2) + \cos (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$

Étape 3.2.8

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 4 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$

Étape 3.2.9

Multipliez $\cos (2 x)$ par $1$ .

$- 4 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 \sin (2 x)$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$- 4 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x)) - 4 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x$ .

$- 4 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x)) - 4 (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 3.3.2.2

La dérivée de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\cos (u_{2})$ .

$- 4 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x)) - 4 (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x$ .

$- 4 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x)) - 4 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 3.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x)) - 4 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 4 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x)) - 4 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Étape 3.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 4 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x)) - 4 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Étape 3.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$- 4 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x)) - 4 (2 \cdot \cos (2 x))$

Étape 3.3.7

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$- 4 (x (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x)) - 8 \cos (2 x)$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 4 (x (- 2 \sin (2 x))) - 4 \cos (2 x) - 8 \cos (2 x)$

Étape 3.4.2

Associez des termes.

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Étape 3.4.2.1

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$8 (x (\sin (2 x))) - 4 \cos (2 x) - 8 \cos (2 x)$

Étape 3.4.2.2

Soustrayez $8 \cos (2 x)$ de $- 4 \cos (2 x)$ .

$f''' (x) = 8 x \sin (2 x) - 12 \cos (2 x)$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 x \sin (2 x) - 12 \cos (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 x \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \cos (2 x)]$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x \sin (2 x)]$ .

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Étape 4.2.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x \sin (2 x)$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x \sin (2 x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \cos (2 x)]$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \sin (2 x)$ .

$8 (x \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12 \cos (2 x)]$

Étape 4.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 4.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 x$ .

$8 (x (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12 \cos (2 x)]$

Étape 4.2.3.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$8 (x (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12 \cos (2 x)]$

Étape 4.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$8 (x (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12 \cos (2 x)]$

Étape 4.2.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 (x (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12 \cos (2 x)]$

Étape 4.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 (x (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12 \cos (2 x)]$

Étape 4.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 (x (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 12 \cos (2 x)]$

Étape 4.2.7

Multipliez $2$ par $1$ .

$8 (x (\cos (2 x) \cdot 2) + \sin (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 12 \cos (2 x)]$

Étape 4.2.8

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$8 (x (2 \cdot \cos (2 x)) + \sin (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 12 \cos (2 x)]$

Étape 4.2.9

Multipliez $\sin (2 x)$ par $1$ .

$8 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 12 \cos (2 x)]$

Étape 4.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 \cos (2 x)]$ .

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Étape 4.3.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 \cos (2 x)$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$8 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 12 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 4.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x$ .

$8 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 12 (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 4.3.2.2

La dérivée de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \sin (u_{2})$ .

$8 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 12 (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 4.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x$ .

$8 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 12 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 4.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 12 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 4.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 12 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Étape 4.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$8 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 12 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Étape 4.3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$8 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 12 (- 2 \sin (2 x))$

Étape 4.3.7

Multipliez $- 2$ par $- 12$ .

$8 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) + 24 \sin (2 x)$

Étape 4.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$8 (x (2 \cos (2 x))) + 8 \sin (2 x) + 24 \sin (2 x)$

Étape 4.4.2

Associez des termes.

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Étape 4.4.2.1

Multipliez $2$ par $8$ .

$16 (x (\cos (2 x))) + 8 \sin (2 x) + 24 \sin (2 x)$

Étape 4.4.2.2

Additionnez $8 \sin (2 x)$ et $24 \sin (2 x)$ .

$f^{4} (x) = 16 x \cos (2 x) + 32 \sin (2 x)$