Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt{4 x - 1}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{4 x - 1}$ comme ${(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 4 x - 1$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x - 1$ .

$\frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Étape 1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Étape 1.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Étape 1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Étape 1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Étape 1.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Étape 1.7

Associez les fractions.

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Étape 1.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Étape 1.7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(4 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Étape 1.7.3

Placez ${(4 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Étape 1.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 1.9

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 1.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 1.11

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 1.12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 + 0)$

Étape 1.13

Simplifiez les termes.

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Étape 1.13.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 4$

Étape 1.13.2

Associez $\frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ et $4$ .

$\frac{4}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.13.3

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.14

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.14.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 ({(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 1.14.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.14.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{2}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.1.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ comme ${({(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{({(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Étape 2.1.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Étape 2.1.2.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{\frac{- 1}{2}}]$

Étape 2.1.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ et $g (x) = 4 x - 1$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 x - 1$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x - 1$ .

$2 (- \frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Étape 2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 (- \frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Étape 2.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 (- \frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 (- \frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 (- \frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Étape 2.6.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$2 (- \frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Étape 2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 (- \frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Étape 2.8

Associez ${(4 x - 1)}^{- \frac{3}{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{{(4 x - 1)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Étape 2.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.9.1

Placez ${(4 x - 1)}^{- \frac{3}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- \frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Étape 2.9.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 (\frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Étape 2.10

Associez $\frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$ et $- 2$ .

$\frac{- 2}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Étape 2.11

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Étape 2.12

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.12.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 ({(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Étape 2.12.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Étape 2.12.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Étape 2.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Étape 2.14

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- \frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 2.15

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 2.16

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 2.17

Multipliez $4$ par $1$ .

$- \frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} (4 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 2.18

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} (4 + 0)$

Étape 2.19

Associez les fractions.

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Étape 2.19.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$- \frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 4$

Étape 2.19.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 4 \frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.19.3

Associez $- 4$ et $\frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 4}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.19.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{4}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 3.1.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{4}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}]$

Étape 3.1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$ comme ${({(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [{({(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}]$

Étape 3.1.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2} \cdot - 1}]$

Étape 3.1.2.2.2

Multipliez $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Étape 3.1.2.2.2.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $- 1$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}}]$

Étape 3.1.2.2.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{\frac{- 3}{2}}]$

Étape 3.1.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 4 \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{- \frac{3}{2}}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- \frac{3}{2}}$ et $g (x) = 4 x - 1$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 x - 1$ .

$- 4 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - \frac{3}{2}$ .

$- 4 (- \frac{3}{2} u^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x - 1$ .

$- 4 (- \frac{3}{2} {(4 x - 1)}^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Étape 3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- 4 (- \frac{3}{2} {(4 x - 1)}^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Étape 3.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- 4 (- \frac{3}{2} {(4 x - 1)}^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Étape 3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 4 (- \frac{3}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Étape 3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 4 (- \frac{3}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{- 3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Étape 3.6.2

Soustrayez $2$ de $- 3$ .

$- 4 (- \frac{3}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{- 5}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Étape 3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 4 (- \frac{3}{2} {(4 x - 1)}^{- \frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Étape 3.8

Associez ${(4 x - 1)}^{- \frac{5}{2}}$ et $\frac{3}{2}$ .

$- 4 (- \frac{{(4 x - 1)}^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Étape 3.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.9.1

Déplacez $3$ à gauche de ${(4 x - 1)}^{- \frac{5}{2}}$ .

$- 4 (- \frac{3 \cdot {(4 x - 1)}^{- \frac{5}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Étape 3.9.2

Placez ${(4 x - 1)}^{- \frac{5}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 (- \frac{3}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Étape 3.9.3

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$4 (\frac{3}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Étape 3.10

Associez $\frac{3}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}}$ et $4$ .

$\frac{3 \cdot 4}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Étape 3.11

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{12}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Étape 3.12

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Étape 3.13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.13.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2 ({(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}})} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Étape 3.13.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 6}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Étape 3.13.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{6}{{(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Étape 3.14

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{6}{{(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 3.15

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{6}{{(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 3.16

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{6}{{(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 3.17

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{6}{{(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}} (4 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 3.18

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{6}{{(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}} (4 + 0)$

Étape 3.19

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.19.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{6}{{(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}} \cdot 4$

Étape 3.19.2

Associez $\frac{6}{{(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}}$ et $4$ .

$\frac{6 \cdot 4}{{(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.19.3

Multipliez $6$ par $4$ .

$f''' (x) = \frac{24}{{(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 4.1.1

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{24}{{(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}}$ par rapport à $x$ est $24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}}]$ .

$24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}}]$

Étape 4.1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}}$ comme ${({(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

$24 \frac{d}{d x} [{({(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}]$

Étape 4.1.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$24 \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{\frac{5}{2} \cdot - 1}]$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez $\frac{5}{2} \cdot - 1$ .

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Étape 4.1.2.2.2.1

Associez $\frac{5}{2}$ et $- 1$ .

$24 \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{\frac{5 \cdot - 1}{2}}]$

Étape 4.1.2.2.2.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$24 \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{\frac{- 5}{2}}]$

Étape 4.1.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$24 \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{- \frac{5}{2}}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- \frac{5}{2}}$ et $g (x) = 4 x - 1$ .

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Étape 4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 x - 1$ .

$24 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{5}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - \frac{5}{2}$ .

$24 (- \frac{5}{2} u^{- \frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x - 1$ .

$24 (- \frac{5}{2} {(4 x - 1)}^{- \frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Étape 4.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$24 (- \frac{5}{2} {(4 x - 1)}^{- \frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Étape 4.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$24 (- \frac{5}{2} {(4 x - 1)}^{- \frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$24 (- \frac{5}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{- 5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Étape 4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$24 (- \frac{5}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{- 5 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Étape 4.6.2

Soustrayez $2$ de $- 5$ .

$24 (- \frac{5}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{- 7}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Étape 4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$24 (- \frac{5}{2} {(4 x - 1)}^{- \frac{7}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Étape 4.8

Associez ${(4 x - 1)}^{- \frac{7}{2}}$ et $\frac{5}{2}$ .

$24 (- \frac{{(4 x - 1)}^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Étape 4.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.9.1

Déplacez $5$ à gauche de ${(4 x - 1)}^{- \frac{7}{2}}$ .

$24 (- \frac{5 \cdot {(4 x - 1)}^{- \frac{7}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Étape 4.9.2

Placez ${(4 x - 1)}^{- \frac{7}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$24 (- \frac{5}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Étape 4.9.3

Multipliez $- 1$ par $24$ .

$- 24 (\frac{5}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

Étape 4.10

Associez $\frac{5}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}}$ et $- 24$ .

$\frac{5 \cdot - 24}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Étape 4.11

Multipliez $5$ par $- 24$ .

$\frac{- 120}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Étape 4.12

Factorisez $2$ à partir de $- 120$ .

$\frac{2 \cdot - 60}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Étape 4.13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.13.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 60}{2 ({(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}})} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Étape 4.13.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 60}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Étape 4.13.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 60}{{(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Étape 4.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{60}{{(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Étape 4.15

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- \frac{60}{{(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 4.16

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{60}{{(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 4.17

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{60}{{(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 4.18

Multipliez $4$ par $1$ .

$- \frac{60}{{(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}} (4 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 4.19

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{60}{{(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}} (4 + 0)$

Étape 4.20

Associez les fractions.

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Étape 4.20.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$- \frac{60}{{(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}} \cdot 4$

Étape 4.20.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 4 \frac{60}{{(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}}$

Étape 4.20.3

Associez $- 4$ et $\frac{60}{{(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}}$ .

$\frac{- 4 \cdot 60}{{(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}}$

Étape 4.20.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.20.4.1

Multipliez $- 4$ par $60$ .

$\frac{- 240}{{(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}}$

Étape 4.20.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f^{4} (x) = - \frac{240}{{(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}}$