Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{1}{t^{2}} \cdot {(1 + \frac{1}{t})}^{3} d t$

Étape 1

Associez $\frac{1}{t^{2}}$ et ${(1 + \frac{1}{t})}^{3}$ .

$\int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{{(1 + \frac{1}{t})}^{3}}{t^{2}} d t$

Étape 2

Laissez $u = 1 + \frac{1}{t}$ . Alors $d u = - \frac{1}{t^{2}} d t$ , donc $- d u = \frac{1}{t^{2}} d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 1 + \frac{1}{t}$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $1 + \frac{1}{t}$ .

$\frac{d}{d t} [1 + \frac{1}{t}]$

Étape 2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \frac{1}{t}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Étape 2.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$ .

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Étape 2.1.3.1

Réécrivez $\frac{1}{t}$ comme $t^{- 1}$ .

$0 + \frac{d}{d t} [t^{- 1}]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$0 - t^{- 2}$

Étape 2.1.4

Simplifiez

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Étape 2.1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{1}{t^{2}}$

Étape 2.1.4.2

Soustrayez $\frac{1}{t^{2}}$ de $0$ .

$- \frac{1}{t^{2}}$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $t$ dans $u = 1 + \frac{1}{t}$ .

$u_{lower} = 1 + \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$u_{lower} = 1 + 1 \cdot 2$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$u_{lower} = 1 + 2$

Étape 2.3.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$u_{lower} = 3$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $t$ dans $u = 1 + \frac{1}{t}$ .

$u_{upper} = 1 + \frac{1}{1}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Divisez $1$ par $1$ .

$u_{upper} = 1 + 1$

Étape 2.5.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$u_{upper} = 2$

Étape 2.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 2$

Étape 2.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{3}^{2} - u^{3} d u$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{3}^{2} u^{3} d u$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{3}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} u^{4}]_{3}^{2})$

Étape 5

Associez $\frac{1}{4}$ et $u^{4}$ .

$- (\frac{u^{4}}{4}]_{3}^{2})$

Étape 6

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1

Évaluez $\frac{u^{4}}{4}$ sur $2$ et sur $3$ .

$- ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{3^{4}}{4})$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$- (\frac{16}{4} - \frac{3^{4}}{4})$

Étape 6.2.2

Annulez le facteur commun à $16$ et $4$ .

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Étape 6.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$- (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{3^{4}}{4})$

Étape 6.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$- (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{3^{4}}{4})$

Étape 6.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{3^{4}}{4})$

Étape 6.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- (\frac{4}{1} - \frac{3^{4}}{4})$

Étape 6.2.2.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$- (4 - \frac{3^{4}}{4})$

Étape 6.2.3

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$- (4 - \frac{81}{4})$

Étape 6.2.4

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$- (4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{81}{4})$

Étape 6.2.5

Associez $4$ et $\frac{4}{4}$ .

$- (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{81}{4})$

Étape 6.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{4 \cdot 4 - 81}{4}$

Étape 6.2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.7.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$- \frac{16 - 81}{4}$

Étape 6.2.7.2

Soustrayez $81$ de $16$ .

$- \frac{- 65}{4}$

Étape 6.2.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{65}{4}$

Étape 6.2.9

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{65}{4})$

Étape 6.2.10

Multipliez $\frac{65}{4}$ par $1$ .

$\frac{65}{4}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{65}{4}$

Forme décimale :

$16.25$

Forme de nombre mixte :

$16 \frac{1}{4}$

Étape 8