Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{\frac{1}{2}}^{\sqrt{\frac{3}{2}}} \frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Étape 1

Laissez $x = \sin (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = \cos (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ est positif.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})} \frac{1}{\sin^{2} (t) \sqrt{1 - \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

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Étape 2.1.1

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})} \frac{1}{\sin^{2} (t) \sqrt{\cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Étape 2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})} \frac{1}{\sin^{2} (t) \cos (t)} \cos (t) d t$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $\cos (t)$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $\cos (t)$ à partir de $\sin^{2} (t) \cos (t)$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})} \frac{1}{\cos (t) \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})} \frac{1}{\cos (t) \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Étape 2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})} \frac{1}{\sin^{2} (t)} d t$

Étape 3

Convertissez de $\frac{1}{\sin^{2} (t)}$ à $\csc^{2} (t)$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})} \csc^{2} (t) d t$

Étape 4

Comme la dérivée de $- \cot (t)$ est $\csc^{2} (t)$ , l’intégrale de $\csc^{2} (t)$ est $- \cot (t)$ .

$- \cot (t)]_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})}$

Étape 5

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.1

Évaluez $- \cot (t)$ sur $\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})$ et sur $\frac{π}{6}$ .

$(- \cot (\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2}))) + \cot (\frac{π}{6})$

Étape 5.2

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}, \frac{\sqrt{6}}{2})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}, 0)$ , et l’origine. Alors $\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}, \frac{\sqrt{6}}{2})$ . Ainsi, $\cot (\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2}))$ est $\frac{i \sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{i \sqrt{3}}{3} + \cot (\frac{π}{6})$

Étape 6

La valeur exacte de $\cot (\frac{π}{6})$ est $\sqrt{3}$ .

$- \frac{i \sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}$

Étape 7