Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{1}{3} \cdot {(4 x - x^{2})}^{3} - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{1}{3} \cdot {(4 x - x^{2})}^{3} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 2

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \int {(4 x - x^{2})}^{3} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3

Développez ${(4 x - x^{2})}^{3}$ .

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Étape 3.1

Utilisez le théorème du binôme.

$\frac{1}{3} \int {(4 x)}^{3} + 3 {(4 x)}^{2} (- x^{2}) + 3 (4 x) {(- x^{2})}^{2} + {(- x^{2})}^{3} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3.2

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$\frac{1}{3} \int 4 x {(4 x)}^{2} + 3 {(4 x)}^{2} (- x^{2}) + 3 (4 x) {(- x^{2})}^{2} + {(- x^{2})}^{3} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3.3

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$\frac{1}{3} \int 4 x (4 x (4 x)) + 3 {(4 x)}^{2} (- x^{2}) + 3 (4 x) {(- x^{2})}^{2} + {(- x^{2})}^{3} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3.4

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$\frac{1}{3} \int 4 x (4 x (4 x)) + 3 (4 x (4 x)) (- x^{2}) + 3 (4 x) {(- x^{2})}^{2} + {(- x^{2})}^{3} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3.5

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$\frac{1}{3} \int 4 x (4 x (4 x)) + 3 (4 x (4 x)) (- x^{2}) + 3 (4 x) (- x^{2} (- x^{2})) + {(- x^{2})}^{3} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3.6

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$\frac{1}{3} \int 4 x (4 x (4 x)) + 3 (4 x (4 x)) (- x^{2}) + 3 (4 x) (- x^{2} (- x^{2})) - x^{2} {(- x^{2})}^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3.7

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$\frac{1}{3} \int 4 x (4 x (4 x)) + 3 (4 x (4 x)) (- x^{2}) + 3 (4 x) (- x^{2} (- x^{2})) - x^{2} (- x^{2} (- x^{2})) d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3.8

Déplacez $x$ .

$\frac{1}{3} \int 4 x (4 \cdot 4 x \cdot x) + 3 (4 x (4 x)) (- x^{2}) + 3 (4 x) (- x^{2} (- x^{2})) - x^{2} (- x^{2} (- x^{2})) d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3.9

Déplacez les parenthèses.

$\frac{1}{3} \int 4 x (4 \cdot 4 x) x + 3 (4 x (4 x)) (- x^{2}) + 3 (4 x) (- x^{2} (- x^{2})) - x^{2} (- x^{2} (- x^{2})) d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3.10

Déplacez les parenthèses.

$\frac{1}{3} \int 4 x (4 \cdot 4) x \cdot x + 3 (4 x (4 x)) (- x^{2}) + 3 (4 x) (- x^{2} (- x^{2})) - x^{2} (- x^{2} (- x^{2})) d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3.11

Déplacez $x$ .

$\frac{1}{3} \int 4 \cdot 4 \cdot 4 x \cdot x \cdot x + 3 (4 x (4 x)) (- x^{2}) + 3 (4 x) (- x^{2} (- x^{2})) - x^{2} (- x^{2} (- x^{2})) d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3.12

Déplacez $x$ .

$\frac{1}{3} \int 4 \cdot 4 \cdot 4 x \cdot x \cdot x + 3 (4 \cdot 4 x \cdot x) (- x^{2}) + 3 (4 x) (- x^{2} (- x^{2})) - x^{2} (- x^{2} (- x^{2})) d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3.13

Déplacez les parenthèses.

$\frac{1}{3} \int 4 \cdot 4 \cdot 4 x \cdot x \cdot x + 3 (4 \cdot 4 x) x (- x^{2}) + 3 (4 x) (- x^{2} (- x^{2})) - x^{2} (- x^{2} (- x^{2})) d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3.14

Déplacez les parenthèses.

$\frac{1}{3} \int 4 \cdot 4 \cdot 4 x \cdot x \cdot x + 3 (4 \cdot 4) x \cdot x (- x^{2}) + 3 (4 x) (- x^{2} (- x^{2})) - x^{2} (- x^{2} (- x^{2})) d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3.15

Déplacez $x$ .

$\frac{1}{3} \int 4 \cdot 4 \cdot 4 x \cdot x \cdot x + 3 \cdot 4 \cdot 4 x \cdot - 1 x \cdot x^{2} + 3 (4 x) (- x^{2} (- x^{2})) - x^{2} (- x^{2} (- x^{2})) d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3.16

Déplacez $x$ .

$\frac{1}{3} \int 4 \cdot 4 \cdot 4 x \cdot x \cdot x + 3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot - 1 x \cdot x \cdot x^{2} + 3 (4 x) (- x^{2} (- x^{2})) - x^{2} (- x^{2} (- x^{2})) d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3.17

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} \int 4 \cdot 4 \cdot 4 x \cdot x \cdot x + 3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot - 1 x \cdot x \cdot x^{2} + 3 \cdot 4 x (- 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2}) - x^{2} (- x^{2} (- x^{2})) d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3.18

Déplacez les parenthèses.

$\frac{1}{3} \int 4 \cdot 4 \cdot 4 x \cdot x \cdot x + 3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot - 1 x \cdot x \cdot x^{2} + 3 \cdot 4 x (- 1 \cdot - 1 x^{2}) x^{2} - x^{2} (- x^{2} (- x^{2})) d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3.19

Déplacez les parenthèses.

$\frac{1}{3} \int 4 \cdot 4 \cdot 4 x \cdot x \cdot x + 3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot - 1 x \cdot x \cdot x^{2} + 3 \cdot 4 x (- 1 \cdot - 1) x^{2} x^{2} - x^{2} (- x^{2} (- x^{2})) d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3.20

Déplacez $x$ .

$\frac{1}{3} \int 4 \cdot 4 \cdot 4 x \cdot x \cdot x + 3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot - 1 x \cdot x \cdot x^{2} + 3 \cdot 4 \cdot - 1 \cdot - 1 x \cdot x^{2} x^{2} - x^{2} (- x^{2} (- x^{2})) d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3.21

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} \int 4 \cdot 4 \cdot 4 x \cdot x \cdot x + 3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot - 1 x \cdot x \cdot x^{2} + 3 \cdot 4 \cdot - 1 \cdot - 1 x \cdot x^{2} x^{2} - x^{2} (- 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2}) d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3.22

Déplacez les parenthèses.

$\frac{1}{3} \int 4 \cdot 4 \cdot 4 x \cdot x \cdot x + 3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot - 1 x \cdot x \cdot x^{2} + 3 \cdot 4 \cdot - 1 \cdot - 1 x \cdot x^{2} x^{2} - x^{2} (- 1 \cdot - 1 x^{2}) x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3.23

Déplacez les parenthèses.

$\frac{1}{3} \int 4 \cdot 4 \cdot 4 x \cdot x \cdot x + 3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot - 1 x \cdot x \cdot x^{2} + 3 \cdot 4 \cdot - 1 \cdot - 1 x \cdot x^{2} x^{2} - x^{2} (- 1 \cdot - 1) x^{2} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3.24

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} \int 4 \cdot 4 \cdot 4 x \cdot x \cdot x + 3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot - 1 x \cdot x \cdot x^{2} + 3 \cdot 4 \cdot - 1 \cdot - 1 x \cdot x^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3.25

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{1}{3} \int 16 \cdot 4 x \cdot x \cdot x + 3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot - 1 x \cdot x \cdot x^{2} + 3 \cdot 4 \cdot - 1 \cdot - 1 x \cdot x^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3.26

Multipliez $16$ par $4$ .

$\frac{1}{3} \int 64 x \cdot x \cdot x + 3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot - 1 x \cdot x \cdot x^{2} + 3 \cdot 4 \cdot - 1 \cdot - 1 x \cdot x^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3.27

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{3} \int 64 (x^{1} x) x + 3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot - 1 x \cdot x \cdot x^{2} + 3 \cdot 4 \cdot - 1 \cdot - 1 x \cdot x^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3.28

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{3} \int 64 (x^{1} x^{1}) x + 3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot - 1 x \cdot x \cdot x^{2} + 3 \cdot 4 \cdot - 1 \cdot - 1 x \cdot x^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3.29

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{3} \int 64 x^{1 + 1} x + 3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot - 1 x \cdot x \cdot x^{2} + 3 \cdot 4 \cdot - 1 \cdot - 1 x \cdot x^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3.30

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{3} \int 64 x^{2} x + 3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot - 1 x \cdot x \cdot x^{2} + 3 \cdot 4 \cdot - 1 \cdot - 1 x \cdot x^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3.31

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{3} \int 64 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot - 1 x \cdot x \cdot x^{2} + 3 \cdot 4 \cdot - 1 \cdot - 1 x \cdot x^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3.32

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{3} \int 64 x^{2 + 1} + 3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot - 1 x \cdot x \cdot x^{2} + 3 \cdot 4 \cdot - 1 \cdot - 1 x \cdot x^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3.33

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{1}{3} \int 64 x^{3} + 3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot - 1 x \cdot x \cdot x^{2} + 3 \cdot 4 \cdot - 1 \cdot - 1 x \cdot x^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3.34

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{1}{3} \int 64 x^{3} + 12 \cdot 4 \cdot - 1 x \cdot x \cdot x^{2} + 3 \cdot 4 \cdot - 1 \cdot - 1 x \cdot x^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3.35

Multipliez $12$ par $4$ .

$\frac{1}{3} \int 64 x^{3} + 48 \cdot - 1 x \cdot x \cdot x^{2} + 3 \cdot 4 \cdot - 1 \cdot - 1 x \cdot x^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3.36

Multipliez $48$ par $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int 64 x^{3} - 48 x \cdot x \cdot x^{2} + 3 \cdot 4 \cdot - 1 \cdot - 1 x \cdot x^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3.37

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{3} \int 64 x^{3} - 48 (x^{1} x) x^{2} + 3 \cdot 4 \cdot - 1 \cdot - 1 x \cdot x^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3.38

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{3} \int 64 x^{3} - 48 (x^{1} x^{1}) x^{2} + 3 \cdot 4 \cdot - 1 \cdot - 1 x \cdot x^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3.39

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{3} \int 64 x^{3} - 48 x^{1 + 1} x^{2} + 3 \cdot 4 \cdot - 1 \cdot - 1 x \cdot x^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3.40

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{3} \int 64 x^{3} - 48 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 4 \cdot - 1 \cdot - 1 x \cdot x^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3.41

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{3} \int 64 x^{3} - 48 x^{2 + 2} + 3 \cdot 4 \cdot - 1 \cdot - 1 x \cdot x^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3.42

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{1}{3} \int 64 x^{3} - 48 x^{4} + 3 \cdot 4 \cdot - 1 \cdot - 1 x \cdot x^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3.43

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{1}{3} \int 64 x^{3} - 48 x^{4} + 12 \cdot - 1 \cdot - 1 x \cdot x^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3.44

Multipliez $12$ par $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int 64 x^{3} - 48 x^{4} - 12 \cdot - 1 x \cdot x^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3.45

Multipliez $- 12$ par $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int 64 x^{3} - 48 x^{4} + 12 x \cdot x^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3.46

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{3} \int 64 x^{3} - 48 x^{4} + 12 (x^{1} x^{2}) x^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3.47

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{3} \int 64 x^{3} - 48 x^{4} + 12 x^{1 + 2} x^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3.48

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{1}{3} \int 64 x^{3} - 48 x^{4} + 12 x^{3} x^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3.49

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{3} \int 64 x^{3} - 48 x^{4} + 12 x^{3 + 2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3.50

Additionnez $3$ et $2$ .

$\frac{1}{3} \int 64 x^{3} - 48 x^{4} + 12 x^{5} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3.51

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int 64 x^{3} - 48 x^{4} + 12 x^{5} + 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3.52

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{3} \int 64 x^{3} - 48 x^{4} + 12 x^{5} - x^{2} x^{2} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3.53

Factorisez le signe négatif.

$\frac{1}{3} \int 64 x^{3} - 48 x^{4} + 12 x^{5} - (x^{2} x^{2}) x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3.54

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{3} \int 64 x^{3} - 48 x^{4} + 12 x^{5} - x^{2 + 2} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3.55

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{1}{3} \int 64 x^{3} - 48 x^{4} + 12 x^{5} - x^{4} x^{2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3.56

Factorisez le signe négatif.

$\frac{1}{3} \int 64 x^{3} - 48 x^{4} + 12 x^{5} - (x^{4} x^{2}) d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3.57

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{3} \int 64 x^{3} - 48 x^{4} + 12 x^{5} - x^{4 + 2} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3.58

Additionnez $4$ et $2$ .

$\frac{1}{3} \int 64 x^{3} - 48 x^{4} + 12 x^{5} - x^{6} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3.59

Remettez dans l’ordre $64 x^{3}$ et $- 48 x^{4}$ .

$\frac{1}{3} \int - 48 x^{4} + 64 x^{3} + 12 x^{5} - x^{6} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3.60

Déplacez $64 x^{3}$ .

$\frac{1}{3} \int - 48 x^{4} + 12 x^{5} + 64 x^{3} - x^{6} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3.61

Remettez dans l’ordre $- 48 x^{4}$ et $12 x^{5}$ .

$\frac{1}{3} \int 12 x^{5} - 48 x^{4} + 64 x^{3} - x^{6} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3.62

Déplacez $64 x^{3}$ .

$\frac{1}{3} \int 12 x^{5} - 48 x^{4} - x^{6} + 64 x^{3} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3.63

Déplacez $- 48 x^{4}$ .

$\frac{1}{3} \int 12 x^{5} - x^{6} - 48 x^{4} + 64 x^{3} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 3.64

Remettez dans l’ordre $12 x^{5}$ et $- x^{6}$ .

$\frac{1}{3} \int - x^{6} + 12 x^{5} - 48 x^{4} + 64 x^{3} d x + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{3} (\int - x^{6} d x + \int 12 x^{5} d x + \int - 48 x^{4} d x + \int 64 x^{3} d x) + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} (- \int x^{6} d x + \int 12 x^{5} d x + \int - 48 x^{4} d x + \int 64 x^{3} d x) + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{6}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$\frac{1}{3} (- (\frac{1}{7} x^{7} + C) + \int 12 x^{5} d x + \int - 48 x^{4} d x + \int 64 x^{3} d x) + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 7

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , placez $12$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} (- (\frac{1}{7} x^{7} + C) + 12 \int x^{5} d x + \int - 48 x^{4} d x + \int 64 x^{3} d x) + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$\frac{1}{3} (- (\frac{1}{7} x^{7} + C) + 12 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \int - 48 x^{4} d x + \int 64 x^{3} d x) + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 9

Comme $- 48$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 48$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} (- (\frac{1}{7} x^{7} + C) + 12 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 48 \int x^{4} d x + \int 64 x^{3} d x) + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{3} (- (\frac{1}{7} x^{7} + C) + 12 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 48 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int 64 x^{3} d x) + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 11

Comme $64$ est constant par rapport à $x$ , placez $64$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} (- (\frac{1}{7} x^{7} + C) + 12 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 48 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 64 \int x^{3} d x) + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 12

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{3} (- (\frac{1}{7} x^{7} + C) + 12 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 48 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 64 (\frac{1}{4} x^{4} + C)) + \int - \frac{1}{3} x^{3} d x$

Étape 13

Comme $- \frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $- \frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} (- (\frac{1}{7} x^{7} + C) + 12 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 48 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 64 (\frac{1}{4} x^{4} + C)) - \frac{1}{3} \int x^{3} d x$

Étape 14

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{3} (- (\frac{1}{7} x^{7} + C) + 12 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 48 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 64 (\frac{1}{4} x^{4} + C)) - \frac{1}{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Étape 15

Simplifiez

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Étape 15.1

Simplifiez

$\frac{1}{3} (- \frac{x^{7}}{7} + 2 x^{6} - \frac{48 x^{5}}{5} + 16 x^{4}) - \frac{1}{3} (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

Étape 15.2

Simplifiez

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Étape 15.2.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{x^{7}}{7} + 2 x^{6} - \frac{48 x^{5}}{5} + 16 x^{4}) - \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{4}}{4} + C$

Étape 15.2.2

Multipliez $\frac{x^{4}}{4}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{x^{7}}{7} + 2 x^{6} - \frac{48 x^{5}}{5} + 16 x^{4}) - \frac{x^{4}}{4 \cdot 3} + C$

Étape 15.2.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{x^{7}}{7} + 2 x^{6} - \frac{48 x^{5}}{5} + 16 x^{4}) - \frac{x^{4}}{12} + C$

Étape 15.2.4

Pour écrire $\frac{1}{3} (- \frac{x^{7}}{7} + 2 x^{6} - \frac{48 x^{5}}{5} + 16 x^{4})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{12}{12}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{x^{7}}{7} + 2 x^{6} - \frac{48 x^{5}}{5} + 16 x^{4}) \cdot \frac{12}{12} - \frac{x^{4}}{12} + C$

Étape 15.2.5

Associez $\frac{1}{3} (- \frac{x^{7}}{7} + 2 x^{6} - \frac{48 x^{5}}{5} + 16 x^{4})$ et $\frac{12}{12}$ .

$\frac{\frac{1}{3} (- \frac{x^{7}}{7} + 2 x^{6} - \frac{48 x^{5}}{5} + 16 x^{4}) \cdot 12}{12} - \frac{x^{4}}{12} + C$

Étape 15.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{1}{3} (- \frac{x^{7}}{7} + 2 x^{6} - \frac{48 x^{5}}{5} + 16 x^{4}) \cdot 12 - x^{4}}{12} + C$

Étape 15.2.7

Associez $12$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{\frac{12}{3} (- \frac{x^{7}}{7} + 2 x^{6} - \frac{48 x^{5}}{5} + 16 x^{4}) - x^{4}}{12} + C$

Étape 15.2.8

Annulez le facteur commun à $12$ et $3$ .

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Étape 15.2.8.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$\frac{\frac{3 \cdot 4}{3} (- \frac{x^{7}}{7} + 2 x^{6} - \frac{48 x^{5}}{5} + 16 x^{4}) - x^{4}}{12} + C$

Étape 15.2.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.2.8.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{\frac{3 \cdot 4}{3 (1)} (- \frac{x^{7}}{7} + 2 x^{6} - \frac{48 x^{5}}{5} + 16 x^{4}) - x^{4}}{12} + C$

Étape 15.2.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1} (- \frac{x^{7}}{7} + 2 x^{6} - \frac{48 x^{5}}{5} + 16 x^{4}) - x^{4}}{12} + C$

Étape 15.2.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{4}{1} (- \frac{x^{7}}{7} + 2 x^{6} - \frac{48 x^{5}}{5} + 16 x^{4}) - x^{4}}{12} + C$

Étape 15.2.8.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$\frac{4 (- \frac{x^{7}}{7} + 2 x^{6} - \frac{48 x^{5}}{5} + 16 x^{4}) - x^{4}}{12} + C$

Étape 16

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{12} (4 (- \frac{1}{7} x^{7} + 2 x^{6} - \frac{48}{5} x^{5} + 16 x^{4}) - x^{4}) + C$