Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{1}{x} \cdot \ln (\frac{1}{x}) d x$

Étape 1

Associez $\frac{1}{x}$ et $\ln (\frac{1}{x})$ .

$\int \frac{\ln (\frac{1}{x})}{x} d x$

Étape 2

Laissez $u_{2} = \ln (\frac{1}{x})$ . Alors $d u_{2} = - \frac{1}{x} d x$ , donc $- d u_{2} = \frac{1}{x} d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.1

Laissez $u_{2} = \ln (\frac{1}{x})$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $\ln (\frac{1}{x})$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Étape 2.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 2.1.2.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 2.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 2.1.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{x}$ .

$1 x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 2.1.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.4.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 2.1.4.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$x \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 2.1.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$x (- x^{- 2})$

Étape 2.1.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- (x^{1} x^{- 2})$

Étape 2.1.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- x^{1 - 2}$

Étape 2.1.8

Soustrayez $2$ de $1$ .

$- x^{- 1}$

Étape 2.1.9

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x}$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\int - u_{2} d u_{2}$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int u_{2} d u_{2}$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u_{2}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Étape 5

Réécrivez $- (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ comme $- \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$- \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\ln (\frac{1}{x})$ .

$- \frac{1}{2} \ln^{2} (\frac{1}{x}) + C$