Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{1 + \tan^{2} (x)}{\tan (x)} d x$

Étape 1

Divisez la fraction $\frac{1 + \tan^{2} (x)}{\tan (x)}$ en deux fractions.

$\int \frac{1}{\tan (x)} + \frac{\tan^{2} (x)}{\tan (x)} d x$

Étape 2

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Étape 2.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\int \frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} + \frac{\tan^{2} (x)}{\tan (x)} d x$

Étape 2.2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\int \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\tan^{2} (x)}{\tan (x)} d x$

Étape 2.3

Convertissez de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ à $\cot (x)$ .

$\int \cot (x) + \frac{\tan^{2} (x)}{\tan (x)} d x$

Étape 2.4

Annulez le facteur commun à $\tan^{2} (x)$ et $\tan (x)$ .

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Étape 2.4.1

Factorisez $\tan (x)$ à partir de $\tan^{2} (x)$ .

$\int \cot (x) + \frac{\tan (x) \tan (x)}{\tan (x)} d x$

Étape 2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.4.2.1

Multipliez par $1$ .

$\int \cot (x) + \frac{\tan (x) \tan (x)}{\tan (x) \cdot 1} d x$

Étape 2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int \cot (x) + \frac{\tan (x) \tan (x)}{\tan (x) \cdot 1} d x$

Étape 2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int \cot (x) + \frac{\tan (x)}{1} d x$

Étape 2.4.2.4

Divisez $\tan (x)$ par $1$ .

$\int \cot (x) + \tan (x) d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \cot (x) d x + \int \tan (x) d x$

Étape 4

L’intégrale de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $\ln (| \sin (x) |)$ .

$\ln (| \sin (x) |) + C + \int \tan (x) d x$

Étape 5

L’intégrale de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\ln (| \sec (x) |)$ .

$\ln (| \sin (x) |) + C + \ln (| \sec (x) |) + C$

Étape 6

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Étape 6.1

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$\ln (| \sin (x) |) + \ln (| \sec (x) |) + C$

Étape 6.2

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Étape 6.2.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| \sin (x) | | \sec (x) |) + C$

Étape 6.2.2

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$\ln (| \sin (x) \sec (x) |) + C$