Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{1}{t} - e^{- 3 t} - \cos (t) d t$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{1}{t} d t + \int - e^{- 3 t} d t + \int - \cos (t) d t$

Étape 2

L’intégrale de $\frac{1}{t}$ par rapport à $t$ est $\ln (| t |)$ .

$\ln (| t |) + C + \int - e^{- 3 t} d t + \int - \cos (t) d t$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| t |) + C - \int e^{- 3 t} d t + \int - \cos (t) d t$

Étape 4

Laissez $u = - 3 t$ . Alors $d u = - 3 d t$ , donc $- \frac{1}{3} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = - 3 t$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $- 3 t$ .

$\frac{d}{d t} [- 3 t]$

Étape 4.1.2

Comme $- 3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 3 t$ par rapport à $t$ est $- 3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 3 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Étape 4.1.4

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$- 3$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\ln (| t |) + C - \int e^{u} \frac{1}{- 3} d u + \int - \cos (t) d t$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\ln (| t |) + C - \int e^{u} (- \frac{1}{3}) d u + \int - \cos (t) d t$

Étape 5.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| t |) + C - \int - \frac{e^{u}}{3} d u + \int - \cos (t) d t$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| t |) + C - - \int \frac{e^{u}}{3} d u + \int - \cos (t) d t$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\ln (| t |) + C + 1 \int \frac{e^{u}}{3} d u + \int - \cos (t) d t$

Étape 7.2

Multipliez $\int \frac{e^{u}}{3} d u$ par $1$ .

$\ln (| t |) + C + \int \frac{e^{u}}{3} d u + \int - \cos (t) d t$

Étape 8

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| t |) + C + \frac{1}{3} \int e^{u} d u + \int - \cos (t) d t$

Étape 9

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$\ln (| t |) + C + \frac{1}{3} (e^{u} + C) + \int - \cos (t) d t$

Étape 10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| t |) + C + \frac{1}{3} (e^{u} + C) - \int \cos (t) d t$

Étape 11

L’intégrale de $\cos (t)$ par rapport à $t$ est $\sin (t)$ .

$\ln (| t |) + C + \frac{1}{3} (e^{u} + C) - (\sin (t) + C)$

Étape 12

Simplifiez

$\ln (| t |) + \frac{1}{3} e^{u} - \sin (t) + C$

Étape 13

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 3 t$ .

$\ln (| t |) + \frac{1}{3} e^{- 3 t} - \sin (t) + C$