Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{1}{2 \sqrt{x} + 2 x} d x$

Étape 1

Let $u_{1} = \sqrt{x}$ . Then $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Rewrite using $u_{1}$ and $d u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{1} = \sqrt{x}$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\sqrt{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Étape 1.1.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Étape 1.1.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Étape 1.1.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 1.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 1.1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Étape 1.1.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Étape 1.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Étape 1.1.9

Simplifiez

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Étape 1.1.9.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.9.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}$

Étape 2

Laissez $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Puis $d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.1

Laissez $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $1 + u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + u_{1}$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Étape 2.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $1$ par rapport à $u_{1}$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Étape 2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 1$

Étape 2.1.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 3

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C$

Étape 4

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 4.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $1 + u_{1}$ .

$\ln (| 1 + u_{1} |) + C$

Étape 4.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sqrt{x}$ .

$\ln (| 1 + \sqrt{x} |) + C$