Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2} - 49}} d x$

Étape 1

Laissez $x = 7 \sec (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = 7 \sec (t) \tan (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $7 \sec (t) \tan (t)$ est positif.

$\int \frac{1}{{(7 \sec (t))}^{2} \sqrt{{(7 \sec (t))}^{2} - 49}} (7 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez $\sqrt{{(7 \sec (t))}^{2} - 49}$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $7 \sec (t)$ .

$\int \frac{1}{{(7 \sec (t))}^{2} \sqrt{7^{2} \sec^{2} (t) - 49}} (7 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.1.1.2

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$\int \frac{1}{{(7 \sec (t))}^{2} \sqrt{49 \sec^{2} (t) - 49}} (7 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.1.2

Factorisez $49$ à partir de $49 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{{(7 \sec (t))}^{2} \sqrt{49 (\sec^{2} (t)) - 49}} (7 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.1.3

Factorisez $49$ à partir de $- 49$ .

$\int \frac{1}{{(7 \sec (t))}^{2} \sqrt{49 \sec^{2} (t) + 49 \cdot - 1}} (7 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.1.4

Factorisez $49$ à partir de $49 \sec^{2} (t) + 49 \cdot - 1$ .

$\int \frac{1}{{(7 \sec (t))}^{2} \sqrt{49 (\sec^{2} (t) - 1)}} (7 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.1.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \frac{1}{{(7 \sec (t))}^{2} \sqrt{49 \tan^{2} (t)}} (7 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.1.6

Réécrivez $49 \tan^{2} (t)$ comme ${(7 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{(7 \sec (t))}^{2} \sqrt{{(7 \tan (t))}^{2}}} (7 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.1.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int \frac{1}{{(7 \sec (t))}^{2} (7 \tan (t))} (7 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $7 \tan (t)$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $7 \tan (t)$ à partir de ${(7 \sec (t))}^{2} (7 \tan (t))$ .

$\int \frac{1}{7 \tan (t) ({(7 \sec (t))}^{2})} (7 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $7 \tan (t)$ à partir de $7 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{1}{7 \tan (t) ({(7 \sec (t))}^{2})} (7 \tan (t) (\sec (t))) d t$

Étape 2.2.1.3

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{1}{7 \tan (t) {(7 \sec (t))}^{2}} (7 \tan (t) \sec (t)) d t$

Étape 2.2.1.4

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{1}{{(7 \sec (t))}^{2}} \sec (t) d t$

Étape 2.2.2

Associez $\frac{1}{{(7 \sec (t))}^{2}}$ et $\sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t)}{{(7 \sec (t))}^{2}} d t$

Étape 2.2.3

Simplifiez

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Étape 2.2.3.1

Factorisez $7$ à partir de $7 \sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t)}{{(7 (\sec (t)))}^{2}} d t$

Étape 2.2.3.2

Appliquez la règle de produit à $7 (\sec (t))$ .

$\int \frac{\sec (t)}{7^{2} \sec^{2} (t)} d t$

Étape 2.2.3.3

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$\int \frac{\sec (t)}{49 \sec^{2} (t)} d t$

Étape 2.2.3.4

Annulez le facteur commun à $\sec (t)$ et $\sec^{2} (t)$ .

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Étape 2.2.3.4.1

Multipliez par $1$ .

$\int \frac{\sec (t) \cdot 1}{49 \sec^{2} (t)} d t$

Étape 2.2.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.3.4.2.1

Factorisez $\sec (t)$ à partir de $49 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) \cdot 1}{\sec (t) (49 \sec (t))} d t$

Étape 2.2.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{\sec (t) \cdot 1}{\sec (t) (49 \sec (t))} d t$

Étape 2.2.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{1}{49 \sec (t)} d t$

Étape 3

Comme $\frac{1}{49}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{49}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{49} \int \frac{1}{\sec (t)} d t$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez $\sec (t)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{49} \int \frac{1}{\frac{1}{\cos (t)}} d t$

Étape 4.2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$\frac{1}{49} \int 1 \cos (t) d t$

Étape 4.3

Multipliez $\cos (t)$ par $1$ .

$\frac{1}{49} \int \cos (t) d t$

Étape 5

L’intégrale de $\cos (t)$ par rapport à $t$ est $\sin (t)$ .

$\frac{1}{49} (\sin (t) + C)$

Étape 6

Simplifiez

$\frac{1}{49} \sin (t) + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $arcsec (\frac{x}{7})$ .

$\frac{1}{49} \sin (arcsec (\frac{x}{7})) + C$

Étape 8

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{49} \sin (arcsec (\frac{1}{7} x)) + C$