Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{1}{\cos^{2} (t) \sqrt[9]{8 + \tan (t)}} d t$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Multipliez par $1$ .

$\int \frac{1}{\cos^{2} (t) \cdot 1 \sqrt[9]{8 + \tan (t)}} d t$

Étape 1.2

Séparez les fractions.

$\int \frac{1}{1 \sqrt[9]{8 + \tan (t)}} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (t)} d t$

Étape 1.3

Convertissez de $\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ à $\sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{1 \sqrt[9]{8 + \tan (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Étape 1.4

Multipliez $\sqrt[9]{8 + \tan (t)}$ par $1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt[9]{8 + \tan (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Étape 1.5

Associez $\frac{1}{\sqrt[9]{8 + \tan (t)}}$ et $\sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sec^{2} (t)}{\sqrt[9]{8 + \tan (t)}} d t$

Étape 2

Laissez $u = 8 + \tan (t)$ . Alors $d u = \sec^{2} (t) d t$ , donc $\frac{1}{\sec^{2} (t)} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 8 + \tan (t)$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $8 + \tan (t)$ .

$\frac{d}{d t} [8 + \tan (t)]$

Étape 2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 + \tan (t)$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [8] + \frac{d}{d t} [\tan (t)]$ .

$\frac{d}{d t} [8] + \frac{d}{d t} [\tan (t)]$

Étape 2.1.2.2

Comme $8$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $8$ par rapport à $t$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [\tan (t)]$

Étape 2.1.3

La dérivée de $\tan (t)$ par rapport à $t$ est $\sec^{2} (t)$ .

$0 + \sec^{2} (t)$

Étape 2.1.4

Additionnez $0$ et $\sec^{2} (t)$ .

$\sec^{2} (t)$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt[9]{u}} d u$

Étape 3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[9]{u}$ comme $u^{\frac{1}{9}}$ .

$\int \frac{1}{u^{\frac{1}{9}}} d u$

Étape 3.2

Retirez $u^{\frac{1}{9}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(u^{\frac{1}{9}})}^{- 1} d u$

Étape 3.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{9}})}^{- 1}$ .

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Étape 3.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{\frac{1}{9} \cdot - 1} d u$

Étape 3.3.2

Associez $\frac{1}{9}$ et $- 1$ .

$\int u^{\frac{- 1}{9}} d u$

Étape 3.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int u^{- \frac{1}{9}} d u$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{9}}$ par rapport à $u$ est $\frac{9}{8} u^{\frac{8}{9}}$ .

$\frac{9}{8} u^{\frac{8}{9}} + C$

Étape 5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $8 + \tan (t)$ .

$\frac{9}{8} {(8 + \tan (t))}^{\frac{8}{9}} + C$