Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{1}{t^{3} \sqrt{t^{2} - 9}} d t$

Étape 1

Laissez $t = 3 \sec (t_{1})$ , où $- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d t = 3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1}) d t_{1}$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ , $3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})$ est positif.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{{(3 \sec (t_{1}))}^{2} - 9}} (3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez $\sqrt{{(3 \sec (t_{1}))}^{2} - 9}$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $3 \sec (t_{1})$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{3^{2} \sec^{2} (t_{1}) - 9}} (3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Étape 2.1.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{9 \sec^{2} (t_{1}) - 9}} (3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Étape 2.1.2

Factorisez $9$ à partir de $9 \sec^{2} (t_{1})$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{9 (\sec^{2} (t_{1})) - 9}} (3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Étape 2.1.3

Factorisez $9$ à partir de $- 9$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{9 \sec^{2} (t_{1}) + 9 \cdot - 1}} (3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Étape 2.1.4

Factorisez $9$ à partir de $9 \sec^{2} (t_{1}) + 9 \cdot - 1$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{9 (\sec^{2} (t_{1}) - 1)}} (3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Étape 2.1.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{9 \tan^{2} (t_{1})}} (3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Étape 2.1.6

Réécrivez $9 \tan^{2} (t_{1})$ comme ${(3 \tan (t_{1}))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{{(3 \tan (t_{1}))}^{2}}} (3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Étape 2.1.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3} (3 \tan (t_{1}))} (3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Étape 2.2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $3 \tan (t_{1})$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $3 \tan (t_{1})$ à partir de ${(3 \sec (t_{1}))}^{3} (3 \tan (t_{1}))$ .

$\int \frac{1}{3 \tan (t_{1}) ({(3 \sec (t_{1}))}^{3})} (3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $3 \tan (t_{1})$ à partir de $3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})$ .

$\int \frac{1}{3 \tan (t_{1}) ({(3 \sec (t_{1}))}^{3})} (3 \tan (t_{1}) (\sec (t_{1}))) d t_{1}$

Étape 2.2.1.3

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{1}{3 \tan (t_{1}) {(3 \sec (t_{1}))}^{3}} (3 \tan (t_{1}) \sec (t_{1})) d t_{1}$

Étape 2.2.1.4

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3}} \sec (t_{1}) d t_{1}$

Étape 2.2.2

Associez $\frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3}}$ et $\sec (t_{1})$ .

$\int \frac{\sec (t_{1})}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3}} d t_{1}$

Étape 2.2.3

Simplifiez

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Étape 2.2.3.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \sec (t_{1})$ .

$\int \frac{\sec (t_{1})}{{(3 (\sec (t_{1})))}^{3}} d t_{1}$

Étape 2.2.3.2

Appliquez la règle de produit à $3 (\sec (t_{1}))$ .

$\int \frac{\sec (t_{1})}{3^{3} \sec^{3} (t_{1})} d t_{1}$

Étape 2.2.3.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\int \frac{\sec (t_{1})}{27 \sec^{3} (t_{1})} d t_{1}$

Étape 2.2.3.4

Annulez le facteur commun à $\sec (t_{1})$ et $\sec^{3} (t_{1})$ .

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Étape 2.2.3.4.1

Multipliez par $1$ .

$\int \frac{\sec (t_{1}) \cdot 1}{27 \sec^{3} (t_{1})} d t_{1}$

Étape 2.2.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.3.4.2.1

Factorisez $\sec (t_{1})$ à partir de $27 \sec^{3} (t_{1})$ .

$\int \frac{\sec (t_{1}) \cdot 1}{\sec (t_{1}) (27 \sec^{2} (t_{1}))} d t_{1}$

Étape 2.2.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{\sec (t_{1}) \cdot 1}{\sec (t_{1}) (27 \sec^{2} (t_{1}))} d t_{1}$

Étape 2.2.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{1}{27 \sec^{2} (t_{1})} d t_{1}$

Étape 3

Comme $\frac{1}{27}$ est constant par rapport à $t_{1}$ , placez $\frac{1}{27}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{27} \int \frac{1}{\sec^{2} (t_{1})} d t_{1}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1}{27} \int \frac{1^{2}}{\sec^{2} (t_{1})} d t_{1}$

Étape 4.2

Réécrivez $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (t_{1})}$ comme ${(\frac{1}{\sec (t_{1})})}^{2}$ .

$\frac{1}{27} \int {(\frac{1}{\sec (t_{1})})}^{2} d t_{1}$

Étape 4.3

Réécrivez $\sec (t_{1})$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{27} \int {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (t_{1})}})}^{2} d t_{1}$

Étape 4.4

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\cos (t_{1})}$ .

$\frac{1}{27} \int {(1 \cos (t_{1}))}^{2} d t_{1}$

Étape 4.5

Multipliez $\cos (t_{1})$ par $1$ .

$\frac{1}{27} \int \cos^{2} (t_{1}) d t_{1}$

Étape 5

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\cos^{2} (t_{1})$ en $\frac{1 + \cos (2 t_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{27} \int \frac{1 + \cos (2 t_{1})}{2} d t_{1}$

Étape 6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $t_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{27} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t_{1}) d t_{1})$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{27}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 27} \int 1 + \cos (2 t_{1}) d t_{1}$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $27$ .

$\frac{1}{54} \int 1 + \cos (2 t_{1}) d t_{1}$

Étape 8

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{54} (\int d t_{1} + \int \cos (2 t_{1}) d t_{1})$

Étape 9

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{54} (t_{1} + C + \int \cos (2 t_{1}) d t_{1})$

Étape 10

Laissez $u = 2 t_{1}$ . Alors $d u = 2 d t_{1}$ , donc $\frac{1}{2} d u = d t_{1}$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 10.1

Laissez $u = 2 t_{1}$ . Déterminez $\frac{d u}{d t_{1}}$ .

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Étape 10.1.1

Différenciez $2 t_{1}$ .

$\frac{d}{d t_{1}} [2 t_{1}]$

Étape 10.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $t_{1}$ , la dérivée de $2 t_{1}$ par rapport à $t_{1}$ est $2 \frac{d}{d t_{1}} [t_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d t_{1}} [t_{1}]$

Étape 10.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t_{1}} [{t_{1}}^{n}]$ est $n {t_{1}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 10.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 10.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{54} (t_{1} + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Étape 11

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{54} (t_{1} + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Étape 12

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{54} (t_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Étape 13

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$\frac{1}{54} (t_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Étape 14

Simplifiez

$\frac{1}{54} (t_{1} + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Étape 15

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 15.1

Remplacez toutes les occurrences de $t_{1}$ par $arcsec (\frac{t}{3})$ .

$\frac{1}{54} (arcsec (\frac{t}{3}) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Étape 15.2

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 t_{1}$ .

$\frac{1}{54} (arcsec (\frac{t}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 t_{1})) + C$

Étape 15.3

Remplacez toutes les occurrences de $t_{1}$ par $arcsec (\frac{t}{3})$ .

$\frac{1}{54} (arcsec (\frac{t}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 arcsec (\frac{t}{3}))) + C$

Étape 16

Simplifiez

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Étape 16.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (2 arcsec (\frac{t}{3}))$ .

$\frac{1}{54} (arcsec (\frac{t}{3}) + \frac{\sin (2 arcsec (\frac{t}{3}))}{2}) + C$

Étape 16.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{54} arcsec (\frac{t}{3}) + \frac{1}{54} \cdot \frac{\sin (2 arcsec (\frac{t}{3}))}{2} + C$

Étape 16.3

Associez $\frac{1}{54}$ et $arcsec (\frac{t}{3})$ .

$\frac{arcsec (\frac{t}{3})}{54} + \frac{1}{54} \cdot \frac{\sin (2 arcsec (\frac{t}{3}))}{2} + C$

Étape 16.4

Multipliez $\frac{1}{54} \cdot \frac{\sin (2 arcsec (\frac{t}{3}))}{2}$ .

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Étape 16.4.1

Multipliez $\frac{1}{54}$ par $\frac{\sin (2 arcsec (\frac{t}{3}))}{2}$ .

$\frac{arcsec (\frac{t}{3})}{54} + \frac{\sin (2 arcsec (\frac{t}{3}))}{54 \cdot 2} + C$

Étape 16.4.2

Multipliez $54$ par $2$ .

$\frac{arcsec (\frac{t}{3})}{54} + \frac{\sin (2 arcsec (\frac{t}{3}))}{108} + C$

Étape 17

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{54} arcsec (\frac{1}{3} t) + \frac{1}{108} \sin (2 arcsec (\frac{1}{3} t)) + C$