Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{1}{s^{2} {(s - 1)}^{2}} d s$

Étape 1

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

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Étape 1.1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 1.1.1

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $C$ .

$\frac{A}{s^{2}} + \frac{B}{s} + \frac{C}{{(s - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2

$\frac{A}{s^{2}} + \frac{B}{s} + \frac{C}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{D}{s - 1}$

Étape 1.1.3

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est $s^{2} {(s - 1)}^{2}$ .

$\frac{1 (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s^{2} {(s - 1)}^{2}} = \frac{A (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s^{2}} + \frac{B (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Étape 1.1.4

Annulez le facteur commun de $s^{2}$ .

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Étape 1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

Étape 1.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 ({(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} = \frac{A (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s^{2}} + \frac{B (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Étape 1.1.5

Annulez le facteur commun de ${(s - 1)}^{2}$ .

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Étape 1.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 {(s - 1)}^{2}}{{(s - 1)}^{2}} = \frac{A (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s^{2}} + \frac{B (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Étape 1.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$1 = \frac{A (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s^{2}} + \frac{B (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Étape 1.1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.6.1

Annulez le facteur commun de $s^{2}$ .

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Étape 1.1.6.1.1

Annulez le facteur commun.

$1 = \frac{A (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s^{2}} + \frac{B (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Étape 1.1.6.1.2

Divisez $A ({(s - 1)}^{2})$ par $1$ .

$1 = A ({(s - 1)}^{2}) + \frac{B (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Étape 1.1.6.2

Réécrivez ${(s - 1)}^{2}$ comme $(s - 1) (s - 1)$ .

$1 = A ((s - 1) (s - 1)) + \frac{B (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Étape 1.1.6.3

Développez $(s - 1) (s - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.6.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A (s (s - 1) - 1 (s - 1)) + \frac{B (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Étape 1.1.6.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A (s \cdot s + s \cdot - 1 - 1 (s - 1)) + \frac{B (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Étape 1.1.6.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A (s \cdot s + s \cdot - 1 - 1 s - 1 \cdot - 1) + \frac{B (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Étape 1.1.6.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.6.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.6.4.1.1

Multipliez $s$ par $s$ .

$1 = A (s^{2} + s \cdot - 1 - 1 s - 1 \cdot - 1) + \frac{B (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Étape 1.1.6.4.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $s$ .

$1 = A (s^{2} - 1 \cdot s - 1 s - 1 \cdot - 1) + \frac{B (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Étape 1.1.6.4.1.3

Réécrivez $- 1 s$ comme $- s$ .

$1 = A (s^{2} - s - 1 s - 1 \cdot - 1) + \frac{B (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Étape 1.1.6.4.1.4

Réécrivez $- 1 s$ comme $- s$ .

$1 = A (s^{2} - s - s - 1 \cdot - 1) + \frac{B (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Étape 1.1.6.4.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 = A (s^{2} - s - s + 1) + \frac{B (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Étape 1.1.6.4.2

Soustrayez $s$ de $- s$ .

$1 = A (s^{2} - 2 s + 1) + \frac{B (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Étape 1.1.6.5

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A s^{2} + A (- 2 s) + A \cdot 1 + \frac{B (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Étape 1.1.6.6

Simplifiez

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Étape 1.1.6.6.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 = A s^{2} - 2 A s + A \cdot 1 + \frac{B (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Étape 1.1.6.6.2

Multipliez $A$ par $1$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + \frac{B (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Étape 1.1.6.7

Annulez le facteur commun à $s^{2}$ et $s$ .

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Étape 1.1.6.7.1

Factorisez $s$ à partir de $B (s^{2} {(s - 1)}^{2})$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + \frac{s (B (s {(s - 1)}^{2}))}{s} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Étape 1.1.6.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.6.7.2.1

Élevez $s$ à la puissance $1$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + \frac{s (B (s {(s - 1)}^{2}))}{s} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Étape 1.1.6.7.2.2

Factorisez $s$ à partir de $s^{1}$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + \frac{s (B (s {(s - 1)}^{2}))}{s \cdot 1} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Étape 1.1.6.7.2.3

Annulez le facteur commun.

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + \frac{s (B (s {(s - 1)}^{2}))}{s \cdot 1} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Étape 1.1.6.7.2.4

Réécrivez l’expression.

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + \frac{B (s {(s - 1)}^{2})}{1} + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Étape 1.1.6.7.2.5

Divisez $B (s {(s - 1)}^{2})$ par $1$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B (s {(s - 1)}^{2}) + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Étape 1.1.6.8

Réécrivez ${(s - 1)}^{2}$ comme $(s - 1) (s - 1)$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B (s ((s - 1) (s - 1))) + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Étape 1.1.6.9

Développez $(s - 1) (s - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.6.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B (s (s (s - 1) - 1 (s - 1))) + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Étape 1.1.6.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B (s (s \cdot s + s \cdot - 1 - 1 (s - 1))) + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Étape 1.1.6.9.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B (s (s \cdot s + s \cdot - 1 - 1 s - 1 \cdot - 1)) + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Étape 1.1.6.10

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.6.10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.6.10.1.1

Multipliez $s$ par $s$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B (s (s^{2} + s \cdot - 1 - 1 s - 1 \cdot - 1)) + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Étape 1.1.6.10.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $s$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B (s (s^{2} - 1 \cdot s - 1 s - 1 \cdot - 1)) + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Étape 1.1.6.10.1.3

Réécrivez $- 1 s$ comme $- s$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B (s (s^{2} - s - 1 s - 1 \cdot - 1)) + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Étape 1.1.6.10.1.4

Réécrivez $- 1 s$ comme $- s$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B (s (s^{2} - s - s - 1 \cdot - 1)) + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Étape 1.1.6.10.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B (s (s^{2} - s - s + 1)) + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Étape 1.1.6.10.2

Soustrayez $s$ de $- s$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B (s (s^{2} - 2 s + 1)) + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Étape 1.1.6.11

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B (s \cdot s^{2} + s (- 2 s) + s \cdot 1) + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Étape 1.1.6.12

Simplifiez

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Étape 1.1.6.12.1

Multipliez $s$ par $s^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.6.12.1.1

Multipliez $s$ par $s^{2}$ .

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Étape 1.1.6.12.1.1.1

Élevez $s$ à la puissance $1$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B (s \cdot s^{2} + s (- 2 s) + s \cdot 1) + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Étape 1.1.6.12.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B (s^{1 + 2} + s (- 2 s) + s \cdot 1) + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Étape 1.1.6.12.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B (s^{3} + s (- 2 s) + s \cdot 1) + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Étape 1.1.6.12.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B (s^{3} - 2 s \cdot s + s \cdot 1) + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Étape 1.1.6.12.3

Multipliez $s$ par $1$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B (s^{3} - 2 s \cdot s + s) + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Étape 1.1.6.13

Multipliez $s$ par $s$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.6.13.1

Déplacez $s$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B (s^{3} - 2 (s \cdot s) + s) + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Étape 1.1.6.13.2

Multipliez $s$ par $s$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B (s^{3} - 2 s^{2} + s) + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Étape 1.1.6.14

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B s^{3} + B (- 2 s^{2}) + B s + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Étape 1.1.6.15

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B s^{3} - 2 B s^{2} + B s + \frac{(C) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Étape 1.1.6.16

Annulez le facteur commun de ${(s - 1)}^{2}$ .

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Étape 1.1.6.16.1

Annulez le facteur commun.

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B s^{3} - 2 B s^{2} + B s + \frac{C (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Étape 1.1.6.16.2

Divisez $(C) (s^{2})$ par $1$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B s^{3} - 2 B s^{2} + B s + (C) (s^{2}) + \frac{(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})}{s - 1}$

Étape 1.1.6.17

Annulez le facteur commun à ${(s - 1)}^{2}$ et $s - 1$ .

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Étape 1.1.6.17.1

Factorisez $s - 1$ à partir de $(D) (s^{2} {(s - 1)}^{2})$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B s^{3} - 2 B s^{2} + B s + C s^{2} + \frac{(s - 1) (D (s^{2} (s - 1)))}{s - 1}$

Étape 1.1.6.17.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.6.17.2.1

Multipliez par $1$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B s^{3} - 2 B s^{2} + B s + C s^{2} + \frac{(s - 1) (D (s^{2} (s - 1)))}{(s - 1) \cdot 1}$

Étape 1.1.6.17.2.2

Annulez le facteur commun.

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B s^{3} - 2 B s^{2} + B s + C s^{2} + \frac{(s - 1) (D (s^{2} (s - 1)))}{(s - 1) \cdot 1}$

Étape 1.1.6.17.2.3

Réécrivez l’expression.

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B s^{3} - 2 B s^{2} + B s + C s^{2} + \frac{D (s^{2} (s - 1))}{1}$

Étape 1.1.6.17.2.4

Divisez $D (s^{2} (s - 1))$ par $1$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B s^{3} - 2 B s^{2} + B s + C s^{2} + D (s^{2} (s - 1))$

Étape 1.1.6.18

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B s^{3} - 2 B s^{2} + B s + C s^{2} + D (s^{2} s + s^{2} \cdot - 1)$

Étape 1.1.6.19

Multipliez $s^{2}$ par $s$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.6.19.1

Multipliez $s^{2}$ par $s$ .

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Étape 1.1.6.19.1.1

Élevez $s$ à la puissance $1$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B s^{3} - 2 B s^{2} + B s + C s^{2} + D (s^{2} s + s^{2} \cdot - 1)$

Étape 1.1.6.19.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B s^{3} - 2 B s^{2} + B s + C s^{2} + D (s^{2 + 1} + s^{2} \cdot - 1)$

Étape 1.1.6.19.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B s^{3} - 2 B s^{2} + B s + C s^{2} + D (s^{3} + s^{2} \cdot - 1)$

Étape 1.1.6.20

Déplacez $- 1$ à gauche de $s^{2}$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B s^{3} - 2 B s^{2} + B s + C s^{2} + D (s^{3} - 1 \cdot s^{2})$

Étape 1.1.6.21

Réécrivez $- 1 s^{2}$ comme $- s^{2}$ .

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B s^{3} - 2 B s^{2} + B s + C s^{2} + D (s^{3} - s^{2})$

Étape 1.1.6.22

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B s^{3} - 2 B s^{2} + B s + C s^{2} + D s^{3} + D (- s^{2})$

Étape 1.1.6.23

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 = A s^{2} - 2 A s + A + B s^{3} - 2 B s^{2} + B s + C s^{2} + D s^{3} - D s^{2}$

Étape 1.1.7

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.7.1

Déplacez $A$ .

$1 = A s^{2} - 2 s A + A + B s^{3} - 2 B s^{2} + B s + C s^{2} + D s^{3} - D s^{2}$

Étape 1.1.7.2

Remettez dans l’ordre $B$ et $s^{3}$ .

$1 = A s^{2} - 2 s A + A + B s^{3} - 2 B s^{2} + B s + C s^{2} + D s^{3} - D s^{2}$

Étape 1.1.7.3

Déplacez $B$ .

$1 = A s^{2} - 2 s A + A + B s^{3} - 2 s^{2} B + B s + C s^{2} + D s^{3} - D s^{2}$

Étape 1.1.7.4

Remettez dans l’ordre $B$ et $s$ .

$1 = A s^{2} - 2 s A + A + B s^{3} - 2 s^{2} B + B s + C s^{2} + D s^{3} - D s^{2}$

Étape 1.1.7.5

Déplacez $A$ .

$1 = A s^{2} - 2 s A + B s^{3} - 2 s^{2} B + B s + C s^{2} + D s^{3} - D s^{2} + A$

Étape 1.1.7.6

Déplacez $B s$ .

$1 = A s^{2} - 2 s A + B s^{3} - 2 s^{2} B + C s^{2} + D s^{3} - D s^{2} + B s + A$

Étape 1.1.7.7

Déplacez $- 2 s A$ .

$1 = A s^{2} + B s^{3} - 2 s^{2} B + C s^{2} + D s^{3} - D s^{2} - 2 s A + B s + A$

Étape 1.1.7.8

Déplacez $C s^{2}$ .

$1 = A s^{2} + B s^{3} - 2 s^{2} B + D s^{3} + C s^{2} - D s^{2} - 2 s A + B s + A$

Étape 1.1.7.9

Déplacez $- 2 s^{2} B$ .

$1 = A s^{2} + B s^{3} + D s^{3} - 2 s^{2} B + C s^{2} - D s^{2} - 2 s A + B s + A$

Étape 1.1.7.10

Déplacez $A s^{2}$ .

$1 = B s^{3} + D s^{3} + A s^{2} - 2 s^{2} B + C s^{2} - D s^{2} - 2 s A + B s + A$

Étape 1.2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

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Étape 1.2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $s^{3}$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = B + D$

Étape 1.2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $s^{2}$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = A - 2 B + C - 1 D$

Étape 1.2.3

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $s$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = - 2 A + B$

Étape 1.2.4

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $s$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$1 = A$

Étape 1.2.5

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$0 = B + D$

$0 = A - 2 B + C - 1 D$

$0 = - 2 A + B$

$1 = A$

$0 = B + D$

$0 = A - 2 B + C - 1 D$

$0 = - 2 A + B$

$1 = A$

Étape 1.3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 1.3.1

Réécrivez l’équation comme $A = 1$ .

$A = 1$

$0 = B + D$

$0 = A - 2 B + C - 1 D$

$0 = - 2 A + B$

Étape 1.3.2

Remplacez toutes les occurrences de $A$ par $1$ dans chaque équation.

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Étape 1.3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $0 = A - 2 B + C - 1 D$ par $1$ .

$0 = (1) - 2 B + C - 1 D$

$A = 1$

$0 = B + D$

$0 = - 2 A + B$

Étape 1.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.2.2.1

Réécrivez $- 1 D$ comme $- D$ .

$0 = 1 - 2 B + C - D$

$A = 1$

$0 = B + D$

$0 = - 2 A + B$

$0 = 1 - 2 B + C - D$

$A = 1$

$0 = B + D$

$0 = - 2 A + B$

Étape 1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $0 = - 2 A + B$ par $1$ .

$0 = - 2 \cdot 1 + B$

$0 = 1 - 2 B + C - D$

$A = 1$

$0 = B + D$

Étape 1.3.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.2.4.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$0 = - 2 + B$

$0 = 1 - 2 B + C - D$

$A = 1$

$0 = B + D$

$0 = - 2 + B$

$0 = 1 - 2 B + C - D$

$A = 1$

$0 = B + D$

$0 = - 2 + B$

$0 = 1 - 2 B + C - D$

$A = 1$

$0 = B + D$

Étape 1.3.3

Résolvez $B$ dans $0 = - 2 + B$ .

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Étape 1.3.3.1

Réécrivez l’équation comme $- 2 + B = 0$ .

$- 2 + B = 0$

$0 = 1 - 2 B + C - D$

$A = 1$

$0 = B + D$

Étape 1.3.3.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$B = 2$

$0 = 1 - 2 B + C - D$

$A = 1$

$0 = B + D$

$B = 2$

$0 = 1 - 2 B + C - D$

$A = 1$

$0 = B + D$

Étape 1.3.4

Remplacez toutes les occurrences de $B$ par $2$ dans chaque équation.

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Étape 1.3.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $0 = 1 - 2 B + C - D$ par $2$ .

$0 = 1 - 2 \cdot 2 + C - D$

$B = 2$

$A = 1$

$0 = B + D$

Étape 1.3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.4.2.1

Simplifiez $1 - 2 \cdot 2 + C - D$ .

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Étape 1.3.4.2.1.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$0 = 1 - 4 + C - D$

$B = 2$

$A = 1$

$0 = B + D$

Étape 1.3.4.2.1.2

Soustrayez $4$ de $1$ .

$0 = - 3 + C - D$

$B = 2$

$A = 1$

$0 = B + D$

$0 = - 3 + C - D$

$B = 2$

$A = 1$

$0 = B + D$

$0 = - 3 + C - D$

$B = 2$

$A = 1$

$0 = B + D$

Étape 1.3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $0 = B + D$ par $2$ .

$0 = (2) + D$

$0 = - 3 + C - D$

$B = 2$

$A = 1$

Étape 1.3.4.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.4.4.1

Supprimez les parenthèses.

$0 = 2 + D$

$0 = - 3 + C - D$

$B = 2$

$A = 1$

$0 = 2 + D$

$0 = - 3 + C - D$

$B = 2$

$A = 1$

$0 = 2 + D$

$0 = - 3 + C - D$

$B = 2$

$A = 1$

Étape 1.3.5

Résolvez $D$ dans $0 = 2 + D$ .

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Étape 1.3.5.1

Réécrivez l’équation comme $2 + D = 0$ .

$2 + D = 0$

$0 = - 3 + C - D$

$B = 2$

$A = 1$

Étape 1.3.5.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$D = - 2$

$0 = - 3 + C - D$

$B = 2$

$A = 1$

$D = - 2$

$0 = - 3 + C - D$

$B = 2$

$A = 1$

Étape 1.3.6

Remplacez toutes les occurrences de $D$ par $- 2$ dans chaque équation.

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Étape 1.3.6.1

Remplacez toutes les occurrences de $D$ dans $0 = - 3 + C - D$ par $- 2$ .

$0 = - 3 + C - (- 2)$

$D = - 2$

$B = 2$

$A = 1$

Étape 1.3.6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.6.2.1

Simplifiez $- 3 + C - (- 2)$ .

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Étape 1.3.6.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$0 = - 3 + C + 2$

$D = - 2$

$B = 2$

$A = 1$

Étape 1.3.6.2.1.2

Additionnez $- 3$ et $2$ .

$0 = C - 1$

$D = - 2$

$B = 2$

$A = 1$

$0 = C - 1$

$D = - 2$

$B = 2$

$A = 1$

$0 = C - 1$

$D = - 2$

$B = 2$

$A = 1$

$0 = C - 1$

$D = - 2$

$B = 2$

$A = 1$

Étape 1.3.7

Résolvez $C$ dans $0 = C - 1$ .

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Étape 1.3.7.1

Réécrivez l’équation comme $C - 1 = 0$ .

$C - 1 = 0$

$D = - 2$

$B = 2$

$A = 1$

Étape 1.3.7.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$C = 1$

$D = - 2$

$B = 2$

$A = 1$

$C = 1$

$D = - 2$

$B = 2$

$A = 1$

Étape 1.3.8

Résolvez le système d’équations.

$C = 1 D = - 2 B = 2 A = 1$

Étape 1.3.9

Indiquez toutes les solutions.

$C = 1, D = - 2, B = 2, A = 1$

Étape 1.4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{s^{2}} + \frac{B}{s} + \frac{C}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{D}{s - 1}$ par les valeurs trouvées pour $A$ , $B$ , $C$ et $D$ .

$\frac{1}{s^{2}} + \frac{2}{s} + \frac{1}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{- 2}{s - 1}$

Étape 1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int \frac{1}{s^{2}} + \frac{2}{s} + \frac{1}{{(s - 1)}^{2}} - \frac{2}{s - 1} d s$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{1}{s^{2}} d s + \int \frac{2}{s} d s + \int \frac{1}{{(s - 1)}^{2}} d s + \int - \frac{2}{s - 1} d s$

Étape 3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.1

Retirez $s^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(s^{2})}^{- 1} d s + \int \frac{2}{s} d s + \int \frac{1}{{(s - 1)}^{2}} d s + \int - \frac{2}{s - 1} d s$

Étape 3.2

Multipliez les exposants dans ${(s^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int s^{2 \cdot - 1} d s + \int \frac{2}{s} d s + \int \frac{1}{{(s - 1)}^{2}} d s + \int - \frac{2}{s - 1} d s$

Étape 3.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int s^{- 2} d s + \int \frac{2}{s} d s + \int \frac{1}{{(s - 1)}^{2}} d s + \int - \frac{2}{s - 1} d s$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $s^{- 2}$ par rapport à $s$ est $- s^{- 1}$ .

$- s^{- 1} + C + \int \frac{2}{s} d s + \int \frac{1}{{(s - 1)}^{2}} d s + \int - \frac{2}{s - 1} d s$

Étape 5

Comme $2$ est constant par rapport à $s$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$- s^{- 1} + C + 2 \int \frac{1}{s} d s + \int \frac{1}{{(s - 1)}^{2}} d s + \int - \frac{2}{s - 1} d s$

Étape 6

L’intégrale de $\frac{1}{s}$ par rapport à $s$ est $\ln (| s |)$ .

$- s^{- 1} + C + 2 (\ln (| s |) + C) + \int \frac{1}{{(s - 1)}^{2}} d s + \int - \frac{2}{s - 1} d s$

Étape 7

Laissez $u_{1} = s - 1$ . Puis $d u_{1} = d s$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 7.1

Laissez $u_{1} = s - 1$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d s}$ .

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Étape 7.1.1

Différenciez $s - 1$ .

$\frac{d}{d s} [s - 1]$

Étape 7.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $s - 1$ par rapport à $s$ est $\frac{d}{d s} [s] + \frac{d}{d s} [- 1]$ .

$\frac{d}{d s} [s] + \frac{d}{d s} [- 1]$

Étape 7.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ est $n s^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d s} [- 1]$

Étape 7.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $s$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $s$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 7.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$- s^{- 1} + C + 2 (\ln (| s |) + C) + \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int - \frac{2}{s - 1} d s$

Étape 8

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 8.1

Retirez ${u_{1}}^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- s^{- 1} + C + 2 (\ln (| s |) + C) + \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int - \frac{2}{s - 1} d s$

Étape 8.2

Multipliez les exposants dans ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 8.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- s^{- 1} + C + 2 (\ln (| s |) + C) + \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int - \frac{2}{s - 1} d s$

Étape 8.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- s^{- 1} + C + 2 (\ln (| s |) + C) + \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int - \frac{2}{s - 1} d s$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{1}}^{- 2}$ par rapport à $u_{1}$ est $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$- s^{- 1} + C + 2 (\ln (| s |) + C) - {u_{1}}^{- 1} + C + \int - \frac{2}{s - 1} d s$

Étape 10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $s$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- s^{- 1} + C + 2 (\ln (| s |) + C) - {u_{1}}^{- 1} + C - \int \frac{2}{s - 1} d s$

Étape 11

Comme $2$ est constant par rapport à $s$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$- s^{- 1} + C + 2 (\ln (| s |) + C) - {u_{1}}^{- 1} + C - (2 \int \frac{1}{s - 1} d s)$

Étape 12

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- s^{- 1} + C + 2 (\ln (| s |) + C) - {u_{1}}^{- 1} + C - 2 \int \frac{1}{s - 1} d s$

Étape 13

Laissez $u_{2} = s - 1$ . Puis $d u_{2} = d s$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 13.1

Laissez $u_{2} = s - 1$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d s}$ .

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Étape 13.1.1

Différenciez $s - 1$ .

$\frac{d}{d s} [s - 1]$

Étape 13.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $s - 1$ par rapport à $s$ est $\frac{d}{d s} [s] + \frac{d}{d s} [- 1]$ .

$\frac{d}{d s} [s] + \frac{d}{d s} [- 1]$

Étape 13.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ est $n s^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d s} [- 1]$

Étape 13.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $s$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $s$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 13.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 13.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$- s^{- 1} + C + 2 (\ln (| s |) + C) - {u_{1}}^{- 1} + C - 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 14

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$- s^{- 1} + C + 2 (\ln (| s |) + C) - {u_{1}}^{- 1} + C - 2 (\ln (| u_{2} |) + C)$

Étape 15

Simplifiez

$- \frac{1}{s} + 2 \ln (| s |) - \frac{1}{u_{1}} - 2 \ln (| u_{2} |) + C$

Étape 16

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 16.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $s - 1$ .

$- \frac{1}{s} + 2 \ln (| s |) - \frac{1}{s - 1} - 2 \ln (| u_{2} |) + C$

Étape 16.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $s - 1$ .

$- \frac{1}{s} + 2 \ln (| s |) - \frac{1}{s - 1} - 2 \ln (| s - 1 |) + C$