Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 x^{2}}} d x$

Étape 1

Laissez $x = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2}$ est positif.

$\int \frac{1}{\sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez $\sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t))}^{2}}$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.1

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.1.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Étape 2.1.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Étape 2.1.1.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{\frac{2}{2}} - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Étape 2.1.1.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{\frac{2}{2}} - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Étape 2.1.1.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{1} - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Étape 2.1.1.1.5

Évaluez l’exposant.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Étape 2.1.1.2

Associez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 {(\frac{\sqrt{3} \sin (t)}{2})}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Étape 2.1.1.3

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.1.1.3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{3} \sin (t)}{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 \frac{{(\sqrt{3} \sin (t))}^{2}}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Étape 2.1.1.3.2

Appliquez la règle de produit à $\sqrt{3} \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 \frac{{\sqrt{3}}^{2} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Étape 2.1.1.4

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.1.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Étape 2.1.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Étape 2.1.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 \frac{3^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Étape 2.1.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 \frac{3^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Étape 2.1.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 \frac{3^{1} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Étape 2.1.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 \frac{3 \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Étape 2.1.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 \frac{3 \sin^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Étape 2.1.1.6

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.1.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 + 4 (- 1) \frac{3 \sin^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Étape 2.1.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 + 4 \cdot - 1 \frac{3 \sin^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Étape 2.1.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 1 (3 \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Étape 2.1.1.7

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 3 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Étape 2.1.2

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 (1) - 3 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Étape 2.1.3

Factorisez $3$ à partir de $- 3 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 (1) + 3 (- \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Étape 2.1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 (1) + 3 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 (1 - \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Étape 2.1.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 \cos^{2} (t)}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Étape 2.1.6

Remettez dans l’ordre $3$ et $\cos^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{\cos^{2} (t) \cdot 3}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Étape 2.1.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$\int \frac{1}{\cos (t) \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Multipliez $\frac{1}{\cos (t) \sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{\cos (t) \sqrt{3} \cdot 2} d t$

Étape 2.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (t) \sqrt{3}$ .

$\int \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2 \cdot (\cos (t) \sqrt{3})} d t$

Étape 2.2.3

Annulez le facteur commun de $\sqrt{3}$ .

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Étape 2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2 \cos (t) \sqrt{3}} d t$

Étape 2.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{\cos (t)}{2 \cos (t)} d t$

Étape 2.2.4

Annulez le facteur commun de $\cos (t)$ .

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Étape 2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{\cos (t)}{2 \cos (t)} d t$

Étape 2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{1}{2} d t$

Étape 3

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} t + C$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arcsin (\frac{2 x}{\sqrt{3}})$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (\frac{2 x}{\sqrt{3}}) + C$

Étape 4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} \arcsin (\frac{2}{\sqrt{3}} x) + C$