Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{u^{7} - 3 u^{4} + 8}{u^{4}} d u$

Étape 1

Retirez $u^{4}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (u^{7} - 3 u^{4} + 8) {(u^{4})}^{- 1} d u$

Étape 2

Multipliez les exposants dans ${(u^{4})}^{- 1}$ .

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Étape 2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (u^{7} - 3 u^{4} + 8) u^{4 \cdot - 1} d u$

Étape 2.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\int (u^{7} - 3 u^{4} + 8) u^{- 4} d u$

Étape 3

Développez $(u^{7} - 3 u^{4} + 8) u^{- 4}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int (u^{7} - 3 u^{4}) u^{- 4} + 8 u^{- 4} d u$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int u^{7} u^{- 4} - 3 u^{4} u^{- 4} + 8 u^{- 4} d u$

Étape 3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int u^{7 - 4} - 3 u^{4} u^{- 4} + 8 u^{- 4} d u$

Étape 3.4

Soustrayez $4$ de $7$ .

$\int u^{3} - 3 u^{4} u^{- 4} + 8 u^{- 4} d u$

Étape 3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int u^{3} - 3 u^{4 - 4} + 8 u^{- 4} d u$

Étape 3.6

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\int u^{3} - 3 u^{0} + 8 u^{- 4} d u$

Étape 3.7

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\int u^{3} - 3 \cdot 1 + 8 u^{- 4} d u$

Étape 3.8

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$\int u^{3} - 3 + 8 u^{- 4} d u$

Étape 3.9

Déplacez $- 3$ .

$\int u^{3} + 8 u^{- 4} - 3 d u$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int u^{3} d u + \int 8 u^{- 4} d u + \int - 3 d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{3}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int 8 u^{- 4} d u + \int - 3 d u$

Étape 6

Comme $8$ est constant par rapport à $u$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} u^{4} + C + 8 \int u^{- 4} d u + \int - 3 d u$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 4}$ par rapport à $u$ est $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + 8 (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C) + \int - 3 d u$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Associez $u^{- 3}$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + 8 (- \frac{u^{- 3}}{3} + C) + \int - 3 d u$

Étape 8.2

Placez $u^{- 3}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + 8 (- \frac{1}{3 u^{3}} + C) + \int - 3 d u$

Étape 9

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{4} u^{4} + C + 8 (- \frac{1}{3 u^{3}} + C) - 3 u + C$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Simplifiez

$\frac{u^{4}}{4} - \frac{8}{3 u^{3}} - 3 u + C$

Étape 10.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{4} u^{4} - \frac{8}{3 u^{3}} - 3 u + C$