Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{t^{3} + \sqrt[3]{t}}{t^{2}} d t$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{t}$ comme $t^{\frac{1}{3}}$ .

$\int \frac{t^{3} + t^{\frac{1}{3}}}{t^{2}} d t$

Étape 1.1.2

Factorisez $t^{\frac{1}{3}}$ à partir de $t^{3} + t^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 1.1.2.1

Factorisez $t^{\frac{1}{3}}$ à partir de $t^{3}$ .

$\int \frac{t^{\frac{1}{3}} t^{\frac{8}{3}} + t^{\frac{1}{3}}}{t^{2}} d t$

Étape 1.1.2.2

Multipliez par $1$ .

$\int \frac{t^{\frac{1}{3}} t^{\frac{8}{3}} + t^{\frac{1}{3}} \cdot 1}{t^{2}} d t$

Étape 1.1.2.3

Factorisez $t^{\frac{1}{3}}$ à partir de $t^{\frac{1}{3}} t^{\frac{8}{3}} + t^{\frac{1}{3}} \cdot 1$ .

$\int \frac{t^{\frac{1}{3}} (t^{\frac{8}{3}} + 1)}{t^{2}} d t$

Étape 1.2

Placez $t^{\frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\int \frac{t^{\frac{8}{3}} + 1}{t^{2} t^{- \frac{1}{3}}} d t$

Étape 1.3

Multipliez $t^{2}$ par $t^{- \frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \frac{t^{\frac{8}{3}} + 1}{t^{2 - \frac{1}{3}}} d t$

Étape 1.3.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\int \frac{t^{\frac{8}{3}} + 1}{t^{2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}}} d t$

Étape 1.3.3

Associez $2$ et $\frac{3}{3}$ .

$\int \frac{t^{\frac{8}{3}} + 1}{t^{\frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}}} d t$

Étape 1.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int \frac{t^{\frac{8}{3}} + 1}{t^{\frac{2 \cdot 3 - 1}{3}}} d t$

Étape 1.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.5.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$\int \frac{t^{\frac{8}{3}} + 1}{t^{\frac{6 - 1}{3}}} d t$

Étape 1.3.5.2

Soustrayez $1$ de $6$ .

$\int \frac{t^{\frac{8}{3}} + 1}{t^{\frac{5}{3}}} d t$

Étape 2

Retirez $t^{\frac{5}{3}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (t^{\frac{8}{3}} + 1) {(t^{\frac{5}{3}})}^{- 1} d t$

Étape 3

Multipliez les exposants dans ${(t^{\frac{5}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (t^{\frac{8}{3}} + 1) t^{\frac{5}{3} \cdot - 1} d t$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{5}{3} \cdot - 1$ .

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{5}{3}$ et $- 1$ .

$\int (t^{\frac{8}{3}} + 1) t^{\frac{5 \cdot - 1}{3}} d t$

Étape 3.2.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\int (t^{\frac{8}{3}} + 1) t^{\frac{- 5}{3}} d t$

Étape 3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int (t^{\frac{8}{3}} + 1) t^{- \frac{5}{3}} d t$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int t^{\frac{8}{3}} t^{- \frac{5}{3}} + 1 t^{- \frac{5}{3}} d t$

Étape 4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int t^{\frac{8}{3} - \frac{5}{3}} + 1 t^{- \frac{5}{3}} d t$

Étape 4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int t^{\frac{8 - 5}{3}} + 1 t^{- \frac{5}{3}} d t$

Étape 4.4

Soustrayez $5$ de $8$ .

$\int t^{\frac{3}{3}} + 1 t^{- \frac{5}{3}} d t$

Étape 4.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.5.1

Annulez le facteur commun.

$\int t^{\frac{3}{3}} + 1 t^{- \frac{5}{3}} d t$

Étape 4.5.2

Réécrivez l’expression.

$\int t^{1} + 1 t^{- \frac{5}{3}} d t$

Étape 4.6

Simplifiez

$\int t + 1 t^{- \frac{5}{3}} d t$

Étape 4.7

Multipliez $t^{- \frac{5}{3}}$ par $1$ .

$\int t + t^{- \frac{5}{3}} d t$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int t d t + \int t^{- \frac{5}{3}} d t$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{1}{2} t^{2} + C + \int t^{- \frac{5}{3}} d t$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{- \frac{5}{3}}$ par rapport à $t$ est $- \frac{3}{2} t^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{2} t^{2} + C - \frac{3}{2} t^{- \frac{2}{3}} + C$

Étape 8

Simplifiez

$\frac{1}{2} t^{2} - \frac{3}{2} t^{- \frac{2}{3}} + C$