Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Étape 1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(x^{2} - 4)}^{3}}} d x$

Étape 2

Laissez $x = 2 \sec (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = 2 \sec (t) \tan (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \sec (t) \tan (t)$ est positif.

$\int \frac{1}{\sqrt{{({(2 \sec (t))}^{2} - 4)}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Simplifiez $\sqrt{{({(2 \sec (t))}^{2} - 4)}^{3}}$ .

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Étape 3.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 \sec (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(2^{2} \sec^{2} (t) - 4)}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 3.1.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(4 \sec^{2} (t) - 4)}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 3.1.2

Factorisez $4$ à partir de $4 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(4 (\sec^{2} (t)) - 4)}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 3.1.3

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1)}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 3.1.4

Factorisez $4$ à partir de $4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(4 (\sec^{2} (t) - 1))}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 3.1.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(4 \tan^{2} (t))}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 3.1.6

Appliquez la règle de produit à $4 \tan^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4^{3} {(\tan^{2} (t))}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 3.1.7

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{64 {(\tan^{2} (t))}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 3.1.8

Multipliez les exposants dans ${(\tan^{2} (t))}^{3}$ .

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Étape 3.1.8.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{64 {\tan (t)}^{2 \cdot 3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 3.1.8.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{64 \tan^{6} (t)}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 3.1.9

Réécrivez $64 \tan^{6} (t)$ comme ${(8 \tan^{3} (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(8 \tan^{3} (t))}^{2}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 3.1.10

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int \frac{1}{8 \tan^{3} (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $2 \tan (t)$ .

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Étape 3.2.1.1

Factorisez $2 \tan (t)$ à partir de $8 \tan^{3} (t)$ .

$\int \frac{1}{2 \tan (t) (4 \tan^{2} (t))} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 3.2.1.2

Factorisez $2 \tan (t)$ à partir de $2 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{1}{2 \tan (t) (4 \tan^{2} (t))} (2 \tan (t) (\sec (t))) d t$

Étape 3.2.1.3

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{1}{2 \tan (t) (4 \tan^{2} (t))} (2 \tan (t) \sec (t)) d t$

Étape 3.2.1.4

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{1}{4 \tan^{2} (t)} \sec (t) d t$

Étape 3.2.2

Associez $\frac{1}{4 \tan^{2} (t)}$ et $\sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t)}{4 \tan^{2} (t)} d t$

Étape 4

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réécrivez $\sec (x)$ comme $\frac{\csc (x)}{\cot (x)}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{\tan^{2} (t)} d t$

Étape 5.2

Appliquez l’identité réciproque.

$\frac{1}{4} \int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t)} \cdot \frac{1}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Étape 5.3.2

Associez.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t) \cdot 1}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Étape 5.3.3

Multipliez $\csc (t)$ par $1$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Étape 5.3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.4.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cot (t)}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1^{2}}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Étape 5.3.4.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Étape 5.3.5

Associez $\cot (t)$ et $\frac{1}{{\cot (t)}^{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Étape 5.3.6

Réduisez l’expression $\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.3.6.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Étape 5.3.6.2

Factorisez $\cot (t)$ à partir de ${\cot (t)}^{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

Étape 5.3.6.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

Étape 5.3.6.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{1}{\cot (t)}} d t$

Étape 5.3.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{4} \int \csc (t) \cot (t) d t$

Étape 6

Comme la dérivée de $- \csc (t)$ est $\csc (t) \cot (t)$ , l’intégrale de $\csc (t) \cot (t)$ est $- \csc (t)$ .

$\frac{1}{4} (- \csc (t) + C)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez

$\frac{1}{4} (- \csc (t)) + C$

Étape 7.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $\csc (t)$ .

$- \frac{\csc (t)}{4} + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $arcsec (\frac{x}{2})$ .

$- \frac{\csc (arcsec (\frac{x}{2}))}{4} + C$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ , et l’origine. Alors $arcsec (\frac{x}{2})$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ . Ainsi, $\csc (arcsec (\frac{x}{2}))$ est $\frac{\frac{x}{2}}{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}$ .

$- \frac{\frac{\frac{x}{2}}{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}}{4} + C$

Étape 9.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{\frac{x}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}}{4} + C$

Étape 9.1.3

Associez.

$- \frac{\frac{x \cdot 1}{2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}}{4} + C$

Étape 9.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}}{4} + C$

Étape 9.1.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.1.5.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}}}{4} + C$

Étape 9.1.5.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \frac{x}{2}$ et $b = 1$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{(\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)}}}{4} + C$

Étape 9.1.5.3

Simplifiez

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Étape 9.1.5.3.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{(\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)}}}{4} + C$

Étape 9.1.5.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1)}}}{4} + C$

Étape 9.1.5.3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}}}{4} + C$

Étape 9.1.5.3.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}}}{4} + C$

Étape 9.1.5.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 1 \cdot 2}{2}}}}{4} + C$

Étape 9.1.5.3.6

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}}}}{4} + C$

Étape 9.1.5.4

Multipliez $\frac{x + 2}{2}$ par $\frac{x - 2}{2}$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}}}}{4} + C$

Étape 9.1.5.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}}}}{4} + C$

Étape 9.1.5.6

Réécrivez $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}$ comme ${(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ .

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Étape 9.1.5.6.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $(x + 2) (x - 2)$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}}}}{4} + C$

Étape 9.1.5.6.2

Factorisez la puissance parfaite $2^{2}$ dans $4$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}}}}{4} + C$

Étape 9.1.5.6.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))}}}{4} + C$

Étape 9.1.5.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$- \frac{\frac{x}{2 (\frac{1}{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)})}}{4} + C$

Étape 9.1.5.8

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}}}{4} + C$

Étape 9.1.6

Associez $2$ et $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$ .

$- \frac{\frac{x}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}}}{4} + C$

Étape 9.1.7

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 9.1.7.1

Réduisez l’expression $\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 9.1.7.1.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{\frac{x}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}}}{4} + C$

Étape 9.1.7.1.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{\frac{x}{\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{1}}}{4} + C$

Étape 9.1.7.2

Divisez $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ par $1$ .

$- \frac{\frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}{4} + C$

Étape 9.1.8

Multipliez $\frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ par $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ .

$- \frac{\frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}} \cdot \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}{4} + C$

Étape 9.1.9

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.1.9.1

Multipliez $\frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ par $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ .

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}{4} + C$

Étape 9.1.9.2

Élevez $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}{4} + C$

Étape 9.1.9.3

Élevez $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1} {\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1}}}{4} + C$

Étape 9.1.9.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1 + 1}}}{4} + C$

Étape 9.1.9.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{2}}}{4} + C$

Étape 9.1.9.6

Réécrivez ${\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{2}$ comme $(x + 2) (x - 2)$ .

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Étape 9.1.9.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ comme ${((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{({((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{4} + C$

Étape 9.1.9.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{4} + C$

Étape 9.1.9.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{2}{2}}}}{4} + C$

Étape 9.1.9.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.1.9.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{2}{2}}}}{4} + C$

Étape 9.1.9.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{1}}}{4} + C$

Étape 9.1.9.6.5

Simplifiez

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}}{4} + C$

Étape 9.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{1}{4}) + C$

Étape 9.3

Multipliez $\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$ par $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2) \cdot 4} + C$

Étape 9.4

Déplacez $4$ à gauche de $(x + 2) (x - 2)$ .

$- \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4 (x + 2) (x - 2)} + C$