Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{x^{5} + 2 x^{2} - 1}{x^{4}} d x$

Étape 1

Retirez $x^{4}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (x^{5} + 2 x^{2} - 1) {(x^{4})}^{- 1} d x$

Étape 2

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Étape 2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{5} + 2 x^{2} - 1) x^{4 \cdot - 1} d x$

Étape 2.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\int (x^{5} + 2 x^{2} - 1) x^{- 4} d x$

Étape 3

Développez $(x^{5} + 2 x^{2} - 1) x^{- 4}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int (x^{5} + 2 x^{2}) x^{- 4} - 1 x^{- 4} d x$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int x^{5} x^{- 4} + 2 x^{2} x^{- 4} - 1 x^{- 4} d x$

Étape 3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{5 - 4} + 2 x^{2} x^{- 4} - 1 x^{- 4} d x$

Étape 3.4

Soustrayez $4$ de $5$ .

$\int x^{1} + 2 x^{2} x^{- 4} - 1 x^{- 4} d x$

Étape 3.5

Simplifiez

$\int x + 2 x^{2} x^{- 4} - 1 x^{- 4} d x$

Étape 3.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x + 2 x^{2 - 4} - 1 x^{- 4} d x$

Étape 3.7

Soustrayez $4$ de $2$ .

$\int x + 2 x^{- 2} - 1 x^{- 4} d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x d x + \int 2 x^{- 2} d x + \int - 1 x^{- 4} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int 2 x^{- 2} d x + \int - 1 x^{- 4} d x$

Étape 6

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 \int x^{- 2} d x + \int - 1 x^{- 4} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (- x^{- 1} + C) + \int - 1 x^{- 4} d x$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (- x^{- 1} + C) - \int x^{- 4} d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (- x^{- 1} + C) - (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C)$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

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Étape 10.1.1

Associez $x^{- 3}$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (- x^{- 1} + C) - (- \frac{x^{- 3}}{3} + C)$

Étape 10.1.2

Placez $x^{- 3}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (- x^{- 1} + C) - (- \frac{1}{3 x^{3}} + C)$

Étape 10.2

Simplifiez

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{2}{x} - - \frac{1}{3 x^{3}} + C$

Étape 10.3

Simplifiez

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Étape 10.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{2}{x} + 1 \frac{1}{3 x^{3}} + C$

Étape 10.3.2

Multipliez $\frac{1}{3 x^{3}}$ par $1$ .

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{2}{x} + \frac{1}{3 x^{3}} + C$

Étape 10.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} x^{2} - \frac{2}{x} + \frac{1}{3 x^{3}} + C$