Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{x^{4} - 1}{x^{2} + 1} d x$

Étape 1

Divisez $x^{4} - 1$ par $x^{2} + 1$ .

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Étape 1.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

Étape 1.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{2}$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

Étape 1.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

Étape 1.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{4} + 0 + x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

Étape 1.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

Étape 1.6

Extrayez le terme suivant du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Étape 1.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{2}$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Étape 1.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

						$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{4}$	+	$0 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
					-	$x^{4}$	-	$0$	-	$x^{2}$
									-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
									-	$x^{2}$	+	$0$	-	$1$

Étape 1.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x^{2} + 0 - 1$

						$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{4}$	+	$0 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
					-	$x^{4}$	-	$0$	-	$x^{2}$
									-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
									+	$x^{2}$	-	$0$	+	$1$

Étape 1.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

						$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{4}$	+	$0 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
					-	$x^{4}$	-	$0$	-	$x^{2}$
									-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
									+	$x^{2}$	-	$0$	+	$1$
														$0$

Étape 1.11

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$\int x^{2} + 0 x - 1 d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x^{2} d x + \int 0 x d x + \int - 1 d x$

Étape 3

Multipliez $0$ par $x$ .

$\int x^{2} d x + \int 0 d x + \int - 1 d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int 0 d x + \int - 1 d x$

Étape 5

L’intégrale de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 0 + C + \int - 1 d x$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 0 + C - x + C$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Additionnez $0$ et $C$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + C - x + C$

Étape 7.2

Simplifiez

$\frac{1}{3} x^{3} - x + C$