Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{4 + \sqrt{t}}{t^{3}} d t$

Étape 1

Retirez $t^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (4 + \sqrt{t}) {(t^{3})}^{- 1} d t$

Étape 2

Multipliez les exposants dans ${(t^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (4 + \sqrt{t}) t^{3 \cdot - 1} d t$

Étape 2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\int (4 + \sqrt{t}) t^{- 3} d t$

Étape 3

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t}$ comme $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\int (4 + t^{\frac{1}{2}}) t^{- 3} d t$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int 4 t^{- 3} + t^{\frac{1}{2}} t^{- 3} d t$

Étape 4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 4 t^{- 3} + t^{\frac{1}{2} - 3} d t$

Étape 4.3

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\int 4 t^{- 3} + t^{\frac{1}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}} d t$

Étape 4.4

Associez $- 3$ et $\frac{2}{2}$ .

$\int 4 t^{- 3} + t^{\frac{1}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}} d t$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int 4 t^{- 3} + t^{\frac{1 - 3 \cdot 2}{2}} d t$

Étape 4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$\int 4 t^{- 3} + t^{\frac{1 - 6}{2}} d t$

Étape 4.6.2

Soustrayez $6$ de $1$ .

$\int 4 t^{- 3} + t^{\frac{- 5}{2}} d t$

Étape 5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int 4 t^{- 3} + t^{- \frac{5}{2}} d t$

Étape 6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 4 t^{- 3} d t + \int t^{- \frac{5}{2}} d t$

Étape 7

Comme $4$ est constant par rapport à $t$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int t^{- 3} d t + \int t^{- \frac{5}{2}} d t$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{- 3}$ par rapport à $t$ est $- \frac{1}{2} t^{- 2}$ .

$4 (- \frac{1}{2} t^{- 2} + C) + \int t^{- \frac{5}{2}} d t$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Associez $t^{- 2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$4 (- \frac{t^{- 2}}{2} + C) + \int t^{- \frac{5}{2}} d t$

Étape 9.2

Placez $t^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (- \frac{1}{2 t^{2}} + C) + \int t^{- \frac{5}{2}} d t$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{- \frac{5}{2}}$ par rapport à $t$ est $- \frac{2}{3} t^{- \frac{3}{2}}$ .

$4 (- \frac{1}{2 t^{2}} + C) - \frac{2}{3} t^{- \frac{3}{2}} + C$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Simplifiez

$\frac{- 2}{t^{2}} - \frac{2}{3} t^{- \frac{3}{2}} + C$

Étape 11.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{t^{2}} - \frac{2}{3} t^{- \frac{3}{2}} + C$