Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{4 x^{2} - 2 x + 1}{4 x^{3} - x} d x$

Étape 1

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

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Étape 1.1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 1.1.1

Factorisez la fraction.

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Étape 1.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $4 x^{3} - x$ .

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Étape 1.1.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $4 x^{3}$ .

$\frac{4 x^{2} - 2 x + 1}{x (4 x^{2}) - x}$

Étape 1.1.1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- x$ .

$\frac{4 x^{2} - 2 x + 1}{x (4 x^{2}) + x \cdot - 1}$

Étape 1.1.1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x (4 x^{2}) + x \cdot - 1$ .

$\frac{4 x^{2} - 2 x + 1}{x (4 x^{2} - 1)}$

Étape 1.1.1.2

Réécrivez $4 x^{2}$ comme ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} - 2 x + 1}{x ({(2 x)}^{2} - 1)}$

Étape 1.1.1.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} - 2 x + 1}{x ({(2 x)}^{2} - 1^{2})}$

Étape 1.1.1.4

Factorisez.

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Étape 1.1.1.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2 x$ et $b = 1$ .

$\frac{4 x^{2} - 2 x + 1}{x ((2 x + 1) (2 x - 1))}$

Étape 1.1.1.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{4 x^{2} - 2 x + 1}{x (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Étape 1.1.2

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{2 x + 1}$

Étape 1.1.3

$\frac{A}{x} + \frac{B}{2 x + 1} + \frac{C}{2 x - 1}$

Étape 1.1.4

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est $x (2 x + 1) (2 x - 1)$ .

$\frac{(4 x^{2} - 2 x + 1) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{x (2 x + 1) (2 x - 1)} = \frac{A (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Étape 1.1.5

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.1.5.1

Annulez le facteur commun.

Étape 1.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(4 x^{2} - 2 x + 1) ((2 x + 1) (2 x - 1))}{(2 x + 1) (2 x - 1)} = \frac{A (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Étape 1.1.6

Annulez le facteur commun de $2 x + 1$ .

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Étape 1.1.6.1

Annulez le facteur commun.

Étape 1.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(4 x^{2} - 2 x + 1) (2 x - 1)}{2 x - 1} = \frac{A (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Étape 1.1.7

Annulez le facteur commun de $2 x - 1$ .

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Étape 1.1.7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(4 x^{2} - 2 x + 1) (2 x - 1)}{2 x - 1} = \frac{A (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Étape 1.1.7.2

Divisez $4 x^{2} - 2 x + 1$ par $1$ .

$4 x^{2} - 2 x + 1 = \frac{A (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Étape 1.1.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.8.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.1.8.1.1

Annulez le facteur commun.

$4 x^{2} - 2 x + 1 = \frac{A (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Étape 1.1.8.1.2

Divisez $A ((2 x + 1) (2 x - 1))$ par $1$ .

$4 x^{2} - 2 x + 1 = A ((2 x + 1) (2 x - 1)) + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Étape 1.1.8.2

Développez $(2 x + 1) (2 x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.8.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 x^{2} - 2 x + 1 = A (2 x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)) + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Étape 1.1.8.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 x^{2} - 2 x + 1 = A (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x - 1)) + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Étape 1.1.8.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 x^{2} - 2 x + 1 = A (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Étape 1.1.8.3

Associez les termes opposés dans $2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1$ .

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Étape 1.1.8.3.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $2 x \cdot - 1$ et $1 (2 x)$ .

$4 x^{2} - 2 x + 1 = A (2 x (2 x) - 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Étape 1.1.8.3.2

Additionnez $- 1 \cdot 2 x$ et $1 \cdot 2 x$ .

$4 x^{2} - 2 x + 1 = A (2 x (2 x) + 0 + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Étape 1.1.8.3.3

Additionnez $2 x (2 x)$ et $0$ .

$4 x^{2} - 2 x + 1 = A (2 x (2 x) + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Étape 1.1.8.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.8.4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 x^{2} - 2 x + 1 = A (2 \cdot (2 x \cdot x) + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Étape 1.1.8.4.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.8.4.2.1

Déplacez $x$ .

$4 x^{2} - 2 x + 1 = A (2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Étape 1.1.8.4.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$4 x^{2} - 2 x + 1 = A (2 \cdot (2 x^{2}) + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Étape 1.1.8.4.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x^{2} - 2 x + 1 = A (4 x^{2} + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Étape 1.1.8.4.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$4 x^{2} - 2 x + 1 = A (4 x^{2} - 1) + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Étape 1.1.8.5

Appliquez la propriété distributive.

$4 x^{2} - 2 x + 1 = A (4 x^{2}) + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Étape 1.1.8.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 x^{2} - 2 x + 1 = 4 A x^{2} + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Étape 1.1.8.7

Déplacez $- 1$ à gauche de $A$ .

$4 x^{2} - 2 x + 1 = 4 A x^{2} - 1 \cdot A + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Étape 1.1.8.8

Réécrivez $- 1 A$ comme $- A$ .

$4 x^{2} - 2 x + 1 = 4 A x^{2} - A + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Étape 1.1.8.9

Annulez le facteur commun de $2 x + 1$ .

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Étape 1.1.8.9.1

Annulez le facteur commun.

$4 x^{2} - 2 x + 1 = 4 A x^{2} - A + \frac{B (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Étape 1.1.8.9.2

Divisez $(B) (x (2 x - 1))$ par $1$ .

$4 x^{2} - 2 x + 1 = 4 A x^{2} - A + (B) (x (2 x - 1)) + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Étape 1.1.8.10

Appliquez la propriété distributive.

$4 x^{2} - 2 x + 1 = 4 A x^{2} - A + B (x (2 x) + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Étape 1.1.8.11

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 x^{2} - 2 x + 1 = 4 A x^{2} - A + B (2 x \cdot x + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Étape 1.1.8.12

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$4 x^{2} - 2 x + 1 = 4 A x^{2} - A + B (2 x \cdot x - 1 \cdot x) + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Étape 1.1.8.13

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.8.13.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.8.13.1.1

Déplacez $x$ .

$4 x^{2} - 2 x + 1 = 4 A x^{2} - A + B (2 (x \cdot x) - 1 \cdot x) + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Étape 1.1.8.13.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$4 x^{2} - 2 x + 1 = 4 A x^{2} - A + B (2 x^{2} - 1 \cdot x) + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Étape 1.1.8.13.2

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$4 x^{2} - 2 x + 1 = 4 A x^{2} - A + B (2 x^{2} - x) + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Étape 1.1.8.14

Appliquez la propriété distributive.

$4 x^{2} - 2 x + 1 = 4 A x^{2} - A + B (2 x^{2}) + B (- x) + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Étape 1.1.8.15

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 x^{2} - 2 x + 1 = 4 A x^{2} - A + 2 B x^{2} + B (- x) + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Étape 1.1.8.16

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 x^{2} - 2 x + 1 = 4 A x^{2} - A + 2 B x^{2} - B x + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Étape 1.1.8.17

Annulez le facteur commun de $2 x - 1$ .

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Étape 1.1.8.17.1

Annulez le facteur commun.

$4 x^{2} - 2 x + 1 = 4 A x^{2} - A + 2 B x^{2} - B x + \frac{C (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Étape 1.1.8.17.2

Divisez $(C) (x (2 x + 1))$ par $1$ .

$4 x^{2} - 2 x + 1 = 4 A x^{2} - A + 2 B x^{2} - B x + (C) (x (2 x + 1))$

Étape 1.1.8.18

Appliquez la propriété distributive.

$4 x^{2} - 2 x + 1 = 4 A x^{2} - A + 2 B x^{2} - B x + C (x (2 x) + x \cdot 1)$

Étape 1.1.8.19

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 x^{2} - 2 x + 1 = 4 A x^{2} - A + 2 B x^{2} - B x + C (2 x \cdot x + x \cdot 1)$

Étape 1.1.8.20

Multipliez $x$ par $1$ .

$4 x^{2} - 2 x + 1 = 4 A x^{2} - A + 2 B x^{2} - B x + C (2 x \cdot x + x)$

Étape 1.1.8.21

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.8.21.1

Déplacez $x$ .

$4 x^{2} - 2 x + 1 = 4 A x^{2} - A + 2 B x^{2} - B x + C (2 (x \cdot x) + x)$

Étape 1.1.8.21.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$4 x^{2} - 2 x + 1 = 4 A x^{2} - A + 2 B x^{2} - B x + C (2 x^{2} + x)$

Étape 1.1.8.22

Appliquez la propriété distributive.

$4 x^{2} - 2 x + 1 = 4 A x^{2} - A + 2 B x^{2} - B x + C (2 x^{2}) + C x$

Étape 1.1.8.23

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 x^{2} - 2 x + 1 = 4 A x^{2} - A + 2 B x^{2} - B x + 2 C x^{2} + C x$

Étape 1.1.9

Remettez dans l’ordre.

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Étape 1.1.9.1

Déplacez $A$ .

$4 x^{2} - 2 x + 1 = 4 x^{2} A - A + 2 B x^{2} - B x + 2 C x^{2} + C x$

Étape 1.1.9.2

Déplacez $B$ .

$4 x^{2} - 2 x + 1 = 4 x^{2} A - A + 2 x^{2} B - B x + 2 C x^{2} + C x$

Étape 1.1.9.3

Déplacez $B$ .

$4 x^{2} - 2 x + 1 = 4 x^{2} A - A + 2 x^{2} B - x B + 2 C x^{2} + C x$

Étape 1.1.9.4

Déplacez $- A$ .

$4 x^{2} - 2 x + 1 = 4 x^{2} A + 2 x^{2} B - x B + 2 C x^{2} + C x - A$

Étape 1.1.9.5

Déplacez $- x B$ .

$4 x^{2} - 2 x + 1 = 4 x^{2} A + 2 x^{2} B + 2 C x^{2} - x B + C x - A$

Étape 1.2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

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Étape 1.2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x^{2}$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$4 = 4 A + 2 B + 2 C$

Étape 1.2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$- 2 = - 1 B + C$

Étape 1.2.3

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $x$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$1 = - 1 A$

Étape 1.2.4

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$4 = 4 A + 2 B + 2 C$

$- 2 = - 1 B + C$

$1 = - 1 A$

$4 = 4 A + 2 B + 2 C$

$- 2 = - 1 B + C$

$1 = - 1 A$

Étape 1.3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 1.3.1

Résolvez $A$ dans $1 = - 1 A$ .

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Étape 1.3.1.1

Réécrivez l’équation comme $- 1 A = 1$ .

$- 1 A = 1$

$4 = 4 A + 2 B + 2 C$

$- 2 = - 1 B + C$

Étape 1.3.1.2

Divisez chaque terme dans $- 1 A = 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 1.3.1.2.1

Divisez chaque terme dans $- 1 A = 1$ par $- 1$ .

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$4 = 4 A + 2 B + 2 C$

$- 2 = - 1 B + C$

Étape 1.3.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.3.1.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{A}{1} = \frac{1}{- 1}$

$4 = 4 A + 2 B + 2 C$

$- 2 = - 1 B + C$

Étape 1.3.1.2.2.2

Divisez $A$ par $1$ .

$A = \frac{1}{- 1}$

$4 = 4 A + 2 B + 2 C$

$- 2 = - 1 B + C$

$A = \frac{1}{- 1}$

$4 = 4 A + 2 B + 2 C$

$- 2 = - 1 B + C$

Étape 1.3.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.1.2.3.1

Divisez $1$ par $- 1$ .

$A = - 1$

$4 = 4 A + 2 B + 2 C$

$- 2 = - 1 B + C$

$A = - 1$

$4 = 4 A + 2 B + 2 C$

$- 2 = - 1 B + C$

$A = - 1$

$4 = 4 A + 2 B + 2 C$

$- 2 = - 1 B + C$

$A = - 1$

$4 = 4 A + 2 B + 2 C$

$- 2 = - 1 B + C$

Étape 1.3.2

Remplacez toutes les occurrences de $A$ par $- 1$ dans chaque équation.

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Étape 1.3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $4 = 4 A + 2 B + 2 C$ par $- 1$ .

$4 = 4 (- 1) + 2 B + 2 C$

$A = - 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Étape 1.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.2.2.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$4 = - 4 + 2 B + 2 C$

$A = - 1$

$- 2 = - 1 B + C$

$4 = - 4 + 2 B + 2 C$

$A = - 1$

$- 2 = - 1 B + C$

$4 = - 4 + 2 B + 2 C$

$A = - 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Étape 1.3.3

Résolvez $B$ dans $4 = - 4 + 2 B + 2 C$ .

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Étape 1.3.3.1

Réécrivez l’équation comme $- 4 + 2 B + 2 C = 4$ .

$- 4 + 2 B + 2 C = 4$

$A = - 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Étape 1.3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $B$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.3.3.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$2 B + 2 C = 4 + 4$

$A = - 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Étape 1.3.3.2.2

Soustrayez $2 C$ des deux côtés de l’équation.

$2 B = 4 + 4 - 2 C$

$A = - 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Étape 1.3.3.2.3

Additionnez $4$ et $4$ .

$2 B = 8 - 2 C$

$A = - 1$

$- 2 = - 1 B + C$

$2 B = 8 - 2 C$

$A = - 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Étape 1.3.3.3

Divisez chaque terme dans $2 B = 8 - 2 C$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.3.1

Divisez chaque terme dans $2 B = 8 - 2 C$ par $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{8}{2} + \frac{- 2 C}{2}$

$A = - 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Étape 1.3.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 B}{2} = \frac{8}{2} + \frac{- 2 C}{2}$

$A = - 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Étape 1.3.3.3.2.1.2

Divisez $B$ par $1$ .

$B = \frac{8}{2} + \frac{- 2 C}{2}$

$A = - 1$

$- 2 = - 1 B + C$

$B = \frac{8}{2} + \frac{- 2 C}{2}$

$A = - 1$

$- 2 = - 1 B + C$

$B = \frac{8}{2} + \frac{- 2 C}{2}$

$A = - 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Étape 1.3.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.3.3.1.1

Divisez $8$ par $2$ .

$B = 4 + \frac{- 2 C}{2}$

$A = - 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Étape 1.3.3.3.3.1.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.3.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 C$ .

$B = 4 + \frac{2 (- C)}{2}$

$A = - 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Étape 1.3.3.3.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.3.3.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$B = 4 + \frac{2 (- C)}{2 (1)}$

$A = - 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Étape 1.3.3.3.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$B = 4 + \frac{2 (- C)}{2 \cdot 1}$

$A = - 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Étape 1.3.3.3.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$B = 4 + \frac{- C}{1}$

$A = - 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Étape 1.3.3.3.3.1.2.2.4

Divisez $- C$ par $1$ .

$B = 4 - C$

$A = - 1$

$- 2 = - 1 B + C$

$B = 4 - C$

$A = - 1$

$- 2 = - 1 B + C$

$B = 4 - C$

$A = - 1$

$- 2 = - 1 B + C$

$B = 4 - C$

$A = - 1$

$- 2 = - 1 B + C$

$B = 4 - C$

$A = - 1$

$- 2 = - 1 B + C$

$B = 4 - C$

$A = - 1$

$- 2 = - 1 B + C$

$B = 4 - C$

$A = - 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Étape 1.3.4

Remplacez toutes les occurrences de $B$ par $4 - C$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $- 2 = - 1 B + C$ par $4 - C$ .

$- 2 = - 1 (4 - C) + C$

$B = 4 - C$

$A = - 1$

Étape 1.3.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.2.1

Simplifiez $- 1 (4 - C) + C$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 = - 1 \cdot 4 - 1 (- C) + C$

$B = 4 - C$

$A = - 1$

Étape 1.3.4.2.1.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 2 = - 4 - 1 (- C) + C$

$B = 4 - C$

$A = - 1$

Étape 1.3.4.2.1.1.3

Multipliez $- 1 (- C)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.2.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- 2 = - 4 + 1 C + C$

$B = 4 - C$

$A = - 1$

Étape 1.3.4.2.1.1.3.2

Multipliez $C$ par $1$ .

$- 2 = - 4 + C + C$

$B = 4 - C$

$A = - 1$

$- 2 = - 4 + C + C$

$B = 4 - C$

$A = - 1$

$- 2 = - 4 + C + C$

$B = 4 - C$

$A = - 1$

Étape 1.3.4.2.1.2

Additionnez $C$ et $C$ .

$- 2 = - 4 + 2 C$

$B = 4 - C$

$A = - 1$

$- 2 = - 4 + 2 C$

$B = 4 - C$

$A = - 1$

$- 2 = - 4 + 2 C$

$B = 4 - C$

$A = - 1$

$- 2 = - 4 + 2 C$

$B = 4 - C$

$A = - 1$

Étape 1.3.5

Résolvez $C$ dans $- 2 = - 4 + 2 C$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.5.1

Réécrivez l’équation comme $- 4 + 2 C = - 2$ .

$- 4 + 2 C = - 2$

$B = 4 - C$

$A = - 1$

Étape 1.3.5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.5.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$2 C = - 2 + 4$

$B = 4 - C$

$A = - 1$

Étape 1.3.5.2.2

Additionnez $- 2$ et $4$ .

$2 C = 2$

$B = 4 - C$

$A = - 1$

$2 C = 2$

$B = 4 - C$

$A = - 1$

Étape 1.3.5.3

Divisez chaque terme dans $2 C = 2$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.5.3.1

Divisez chaque terme dans $2 C = 2$ par $2$ .

$\frac{2 C}{2} = \frac{2}{2}$

$B = 4 - C$

$A = - 1$

Étape 1.3.5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 C}{2} = \frac{2}{2}$

$B = 4 - C$

$A = - 1$

Étape 1.3.5.3.2.1.2

Divisez $C$ par $1$ .

$C = \frac{2}{2}$

$B = 4 - C$

$A = - 1$

$C = \frac{2}{2}$

$B = 4 - C$

$A = - 1$

$C = \frac{2}{2}$

$B = 4 - C$

$A = - 1$

Étape 1.3.5.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.5.3.3.1

Divisez $2$ par $2$ .

$C = 1$

$B = 4 - C$

$A = - 1$

$C = 1$

$B = 4 - C$

$A = - 1$

$C = 1$

$B = 4 - C$

$A = - 1$

$C = 1$

$B = 4 - C$

$A = - 1$

Étape 1.3.6

Remplacez toutes les occurrences de $C$ par $1$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.6.1

Remplacez toutes les occurrences de $C$ dans $B = 4 - C$ par $1$ .

$B = 4 - (1)$

$C = 1$

$A = - 1$

Étape 1.3.6.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.6.2.1

Simplifiez $4 - (1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.6.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$B = 4 - 1$

$C = 1$

$A = - 1$

Étape 1.3.6.2.1.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$B = 3$

$C = 1$

$A = - 1$

$B = 3$

$C = 1$

$A = - 1$

$B = 3$

$C = 1$

$A = - 1$

$B = 3$

$C = 1$

$A = - 1$

Étape 1.3.7

Indiquez toutes les solutions.

$B = 3, C = 1, A = - 1$

Étape 1.4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{x} + \frac{B}{2 x + 1} + \frac{C}{2 x - 1}$ par les valeurs trouvées pour $A$ , $B$ et $C$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{3}{2 x + 1} + \frac{1}{2 x - 1}$

Étape 1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int - \frac{1}{x} + \frac{3}{2 x + 1} + \frac{1}{2 x - 1} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{3}{2 x + 1} d x + \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{3}{2 x + 1} d x + \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

Étape 4

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \int \frac{3}{2 x + 1} d x + \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

Étape 5

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$- (\ln (| x |) + C) + 3 \int \frac{1}{2 x + 1} d x + \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

Étape 6

Laissez $u_{1} = 2 x + 1$ . Alors $d u_{1} = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Laissez $u_{1} = 2 x + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Différenciez $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Étape 6.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 6.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 6.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 6.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 6.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 6.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$- (\ln (| x |) + C) + 3 \int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} + \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

Étape 7

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Multipliez $\frac{1}{u_{1}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- (\ln (| x |) + C) + 3 \int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} + \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

Étape 7.2

Déplacez $2$ à gauche de $u_{1}$ .

$- (\ln (| x |) + C) + 3 \int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

Étape 8

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\ln (| x |) + C) + 3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) + \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

Étape 9

Associez $\frac{1}{2}$ et $3$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

Étape 10

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

Étape 11

Laissez $u_{2} = 2 x - 1$ . Alors $d u_{2} = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Laissez $u_{2} = 2 x - 1$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1.1

Différenciez $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Étape 11.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 11.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 11.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 11.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 11.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 11.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 11.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 12

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Multipliez $\frac{1}{u_{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Étape 12.2

Déplacez $2$ à gauche de $u_{2}$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Étape 13

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 14

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Étape 15

Simplifiez

$- \ln (| x |) + \frac{3}{2} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C$

Étape 16

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x + 1$ .

$- \ln (| x |) + \frac{3}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C$

Étape 16.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x - 1$ .

$- \ln (| x |) + \frac{3}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| 2 x - 1 |) + C$