Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{6}{x} + \frac{3}{x^{2}} + \sqrt{x} - 6 e^{- 2 x} + 9 d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{6}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x + \int \sqrt{x} d x + \int - 6 e^{- 2 x} d x + \int 9 d x$

Étape 2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$6 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x + \int \sqrt{x} d x + \int - 6 e^{- 2 x} d x + \int 9 d x$

Étape 3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{3}{x^{2}} d x + \int \sqrt{x} d x + \int - 6 e^{- 2 x} d x + \int 9 d x$

Étape 4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int \sqrt{x} d x + \int - 6 e^{- 2 x} d x + \int 9 d x$

Étape 5

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int \sqrt{x} d x + \int - 6 e^{- 2 x} d x + \int 9 d x$

Étape 5.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int \sqrt{x} d x + \int - 6 e^{- 2 x} d x + \int 9 d x$

Étape 5.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 \int x^{- 2} d x + \int \sqrt{x} d x + \int - 6 e^{- 2 x} d x + \int 9 d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \int \sqrt{x} d x + \int - 6 e^{- 2 x} d x + \int 9 d x$

Étape 7

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int - 6 e^{- 2 x} d x + \int 9 d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \int - 6 e^{- 2 x} d x + \int 9 d x$

Étape 9

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 6$ en dehors de l’intégrale.

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C - 6 \int e^{- 2 x} d x + \int 9 d x$

Étape 10

Laissez $u = - 2 x$ . Alors $d u = - 2 d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 10.1

Laissez $u = - 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 10.1.1

Différenciez $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 10.1.2

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 10.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Étape 10.1.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2$

Étape 10.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C - 6 \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u + \int 9 d x$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C - 6 \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u + \int 9 d x$

Étape 11.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C - 6 \int - \frac{e^{u}}{2} d u + \int 9 d x$

Étape 12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C - 6 (- \int \frac{e^{u}}{2} d u) + \int 9 d x$

Étape 13

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 6 \int \frac{e^{u}}{2} d u + \int 9 d x$

Étape 14

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 6 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u) + \int 9 d x$

Étape 15

Simplifiez

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Étape 15.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $6$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \frac{6}{2} \int e^{u} d u + \int 9 d x$

Étape 15.2

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 15.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \frac{2 \cdot 3}{2} \int e^{u} d u + \int 9 d x$

Étape 15.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int e^{u} d u + \int 9 d x$

Étape 15.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int e^{u} d u + \int 9 d x$

Étape 15.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \frac{3}{1} \int e^{u} d u + \int 9 d x$

Étape 15.2.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 3 \int e^{u} d u + \int 9 d x$

Étape 16

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 3 (e^{u} + C) + \int 9 d x$

Étape 17

Appliquez la règle de la constante.

$6 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 3 (e^{u} + C) + 9 x + C$

Étape 18

Simplifiez

$6 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 3 e^{u} + 9 x + C$

Étape 19

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 2 x$ .

$6 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 3 e^{- 2 x} + 9 x + C$

Étape 20

Remettez les termes dans l’ordre.

$6 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 3 e^{- 2 x} + 9 x + C$