Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{\frac{7 π}{6}}^{\frac{11 π}{6}} 5 \csc (x) \cot (x) d x$

Étape 1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$5 \int_{\frac{7 π}{6}}^{\frac{11 π}{6}} \csc (x) \cot (x) d x$

Étape 2

Comme la dérivée de $- \csc (x)$ est $\csc (x) \cot (x)$ , l’intégrale de $\csc (x) \cot (x)$ est $- \csc (x)$ .

$5 (- \csc (x)]_{\frac{7 π}{6}}^{\frac{11 π}{6}})$

Étape 3

Évaluez $- \csc (x)$ sur $\frac{11 π}{6}$ et sur $\frac{7 π}{6}$ .

$5 (- \csc (\frac{11 π}{6}) + \csc (\frac{7 π}{6}))$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la cosécante est négative dans le quatrième quadrant.

$5 (- - \csc (\frac{π}{6}) + \csc (\frac{7 π}{6}))$

Étape 4.1.2

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{6})$ est $2$ .

$5 (- (- 1 \cdot 2) + \csc (\frac{7 π}{6}))$

Étape 4.1.3

Multipliez $- (- 1 \cdot 2)$ .

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Étape 4.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$5 (- - 2 + \csc (\frac{7 π}{6}))$

Étape 4.1.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$5 (2 + \csc (\frac{7 π}{6}))$

Étape 4.1.4

Apply the reference angle by finding the angle with equivalent trig values in the first quadrant. Make the expression negative because cosecant is negative in the third quadrant.

$5 (2 - \csc (\frac{π}{6}))$

Étape 4.1.5

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{6})$ est $2$ .

$5 (2 - 1 \cdot 2)$

Étape 4.1.6

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$5 (2 - 2)$

Étape 4.2

Soustrayez $2$ de $2$ .

$5 \cdot 0$

Étape 4.3

Multipliez $5$ par $0$ .

$0$