Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{\arcsin (2 x)}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

Étape 1

Laissez $u_{2} = \arcsin (2 x)$ . Alors $d u_{2} = \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$ , donc $- d u_{2} = \frac{- 2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Laissez $u_{2} = \arcsin (2 x)$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez $\arcsin (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\arcsin (2 x)]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arcsin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.2.2

La dérivée de $\arcsin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x)}^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 (x))}^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.3.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.2.1

Appliquez la règle de produit à $2 (x)$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (2^{2} x^{2})}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.3.2.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (4 x^{2})}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.3.2.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.1.3.4

Associez $2$ et $\frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} \cdot 1$

Étape 1.1.3.6

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$ par $1$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{2} u_{2} d u_{2}$

Étape 2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int u_{2} d u_{2}$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u_{2}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Étape 4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Réécrivez $\frac{1}{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ comme $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Étape 4.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

Étape 4.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{4} {u_{2}}^{2} + C$

Étape 5

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\arcsin (2 x)$ .

$\frac{1}{4} {\arcsin (2 x)}^{2} + C$