Calcul infinitésimal Exemples

$\int 2^{\frac{- x}{2}} d x$

Étape 1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int 2^{- \frac{x}{2}} d x$

Étape 2

Laissez $u_{1} = - \frac{x}{2}$ . Alors $d u_{1} = - \frac{1}{2} d x$ , donc $- 2 d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.1

Laissez $u_{1} = - \frac{x}{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $- \frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Étape 2.1.2

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 2.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{2}$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int - 2^{u_{1}} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u_{1}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\int - 2^{u_{1}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Étape 3.2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{2}$ .

$\int - 2^{u_{1}} \cdot (1 \cdot 2) d u_{1}$

Étape 3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\int - 2^{u_{1}} \cdot 2 d u_{1}$

Étape 3.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int - 2 \cdot 2^{u_{1}} d u_{1}$

Étape 3.5

Factorisez le signe négatif.

$\int - (2 \cdot 2^{u_{1}}) d u_{1}$

Étape 3.6

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$\int - (2^{1} \cdot 2^{u_{1}}) d u_{1}$

Étape 3.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int - 2^{1 + u_{1}} d u_{1}$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int 2^{1 + u_{1}} d u_{1}$

Étape 5

Laissez $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Puis $d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 5.1

Laissez $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $1 + u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

Étape 5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + u_{1}$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Étape 5.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $1$ par rapport à $u_{1}$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Étape 5.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 1$

Étape 5.1.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$- \int 2^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 6

L’intégrale de $2^{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{2^{u_{2}}}{\ln (2)}$ .

$- (\frac{2^{u_{2}}}{\ln (2)} + C)$

Étape 7

Réécrivez $- (\frac{2^{u_{2}}}{\ln (2)} + C)$ comme $- \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u_{2}} + C$ .

$- \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u_{2}} + C$

Étape 8

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 8.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $1 + u_{1}$ .

$- \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{1 + u_{1}} + C$

Étape 8.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- \frac{x}{2}$ .

$- \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{1 - \frac{x}{2}} + C$

Étape 9

Associez $2^{1 - \frac{x}{2}}$ et $\frac{1}{\ln (2)}$ .

$- \frac{2^{1 - \frac{x}{2}}}{\ln (2)} + C$

Étape 10

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{1 - \frac{1}{2} x} + C$