Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{2 x^{2} - 3 x + 1}{3 x - 3} d x$

Étape 1

Divisez $2 x^{2} - 3 x + 1$ par $3 x - 3$ .

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Étape 1.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$3 x$

$3$

$2 x^{2}$

$3 x$

$1$

Étape 1.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $3 x$ .

					$\frac{2 x}{3}$
	$3 x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$

Étape 1.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$\frac{2 x}{3}$
$3 x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Étape 1.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{2} - 2 x$

				$\frac{2 x}{3}$
$3 x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Étape 1.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$\frac{2 x}{3}$
$3 x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x$

Étape 1.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$\frac{2 x}{3}$
$3 x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x$	+	$1$

Étape 1.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $3 x$ .

				$\frac{2 x}{3}$	-	$\frac{1}{3}$
$3 x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x$	+	$1$

Étape 1.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$\frac{2 x}{3}$	-	$\frac{1}{3}$
$3 x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x$	+	$1$
					-	$x$	+	$1$

Étape 1.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x + 1$

				$\frac{2 x}{3}$	-	$\frac{1}{3}$
$3 x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x$	+	$1$
					+	$x$	-	$1$

Étape 1.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$\frac{2 x}{3}$	-	$\frac{1}{3}$
$3 x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x$	+	$1$
					+	$x$	-	$1$
								$0$

Étape 1.11

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$\int \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{2 x}{3} d x + \int - \frac{1}{3} d x$

Étape 3

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{2}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2}{3} \int x d x + \int - \frac{1}{3} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - \frac{1}{3} d x$

Étape 5

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{3} x + C$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{3} x + C$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 2} x^{2} - \frac{1}{3} x + C$

Étape 6.2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{2}{6} x^{2} - \frac{1}{3} x + C$

Étape 6.2.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 6.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1)}{6} x^{2} - \frac{1}{3} x + C$

Étape 6.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{2} - \frac{1}{3} x + C$

Étape 6.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{2} - \frac{1}{3} x + C$

Étape 6.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} x^{2} - \frac{1}{3} x + C$