Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{2 x^{2} - 12 x + 4}{x^{3} - 4 x^{2}} d x$

Étape 1

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Factorisez la fraction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} - 12 x + 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2}) - 12 x + 4}{x^{3} - 4 x^{2}}$

Étape 1.1.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 12 x$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- 6 x) + 4}{x^{3} - 4 x^{2}}$

Étape 1.1.1.1.3

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot 2}{x^{3} - 4 x^{2}}$

Étape 1.1.1.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} + 2 (- 6 x)$ .

$\frac{2 (x^{2} - 6 x) + 2 \cdot 2}{x^{3} - 4 x^{2}}$

Étape 1.1.1.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2} - 6 x) + 2 \cdot 2$ .

$\frac{2 (x^{2} - 6 x + 2)}{x^{3} - 4 x^{2}}$

Étape 1.1.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3} - 4 x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 6 x + 2)}{x^{2} x - 4 x^{2}}$

Étape 1.1.1.2.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 4 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 6 x + 2)}{x^{2} x + x^{2} \cdot - 4}$

Étape 1.1.1.2.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x + x^{2} \cdot - 4$ .

$\frac{2 (x^{2} - 6 x + 2)}{x^{2} (x - 4)}$

Étape 1.1.2

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $C$ .

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x - 4}$

Étape 1.1.3

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est $x^{2} (x - 4)$ .

$\frac{2 (x^{2} - 6 x + 2) (x^{2} (x - 4))}{x^{2} (x - 4)} = \frac{A (x^{2} (x - 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Étape 1.1.4

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (x^{2} - 6 x + 2) (x^{2} (x - 4))}{x^{2} (x - 4)} = \frac{A (x^{2} (x - 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Étape 1.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (x^{2} - 6 x + 2) (x - 4)}{x - 4} = \frac{A (x^{2} (x - 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Étape 1.1.5

Annulez le facteur commun de $x - 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (x^{2} - 6 x + 2) (x - 4)}{x - 4} = \frac{A (x^{2} (x - 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Étape 1.1.5.2

Divisez $2 (x^{2} - 6 x + 2)$ par $1$ .

$2 (x^{2} - 6 x + 2) = \frac{A (x^{2} (x - 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Étape 1.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot 2 = \frac{A (x^{2} (x - 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Étape 1.1.7

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.7.1

Multipliez $- 6$ par $2$ .

$2 x^{2} - 12 x + 2 \cdot 2 = \frac{A (x^{2} (x - 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Étape 1.1.7.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 x^{2} - 12 x + 4 = \frac{A (x^{2} (x - 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Étape 1.1.8

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.8.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.8.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 x^{2} - 12 x + 4 = \frac{A (x^{2} (x - 4))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Étape 1.1.8.1.2

Divisez $A (x - 4)$ par $1$ .

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A (x - 4) + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Étape 1.1.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x + A \cdot - 4 + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Étape 1.1.8.3

Déplacez $- 4$ à gauche de $A$ .

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 \cdot A + \frac{B (x^{2} (x - 4))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Étape 1.1.8.4

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.8.4.1

Factorisez $x$ à partir de $B (x^{2} (x - 4))$ .

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 A + \frac{x (B (x (x - 4)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Étape 1.1.8.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.8.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 A + \frac{x (B (x (x - 4)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Étape 1.1.8.4.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 A + \frac{x (B (x (x - 4)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Étape 1.1.8.4.2.3

Annulez le facteur commun.

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 A + \frac{x (B (x (x - 4)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Étape 1.1.8.4.2.4

Réécrivez l’expression.

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 A + \frac{B (x (x - 4))}{1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Étape 1.1.8.4.2.5

Divisez $B (x (x - 4))$ par $1$ .

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 A + B (x (x - 4)) + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Étape 1.1.8.5

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 A + B (x \cdot x + x \cdot - 4) + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Étape 1.1.8.6

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 A + B (x^{2} + x \cdot - 4) + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Étape 1.1.8.7

Déplacez $- 4$ à gauche de $x$ .

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 A + B (x^{2} - 4 \cdot x) + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Étape 1.1.8.8

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 A + B x^{2} + B (- 4 x) + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Étape 1.1.8.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 A + B x^{2} - 4 B x + \frac{(C) (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Étape 1.1.8.10

Annulez le facteur commun de $x - 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.8.10.1

Annulez le facteur commun.

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 A + B x^{2} - 4 B x + \frac{C (x^{2} (x - 4))}{x - 4}$

Étape 1.1.8.10.2

Divisez $(C) (x^{2})$ par $1$ .

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 A + B x^{2} - 4 B x + (C) (x^{2})$

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 A + B x^{2} - 4 B x + C x^{2}$

Étape 1.1.9

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.9.1

Déplacez $B$ .

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x - 4 A + B x^{2} - 4 x B + C x^{2}$

Étape 1.1.9.2

Déplacez $- 4 A$ .

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x + B x^{2} - 4 x B + C x^{2} - 4 A$

Étape 1.1.9.3

Déplacez $- 4 x B$ .

$2 x^{2} - 12 x + 4 = A x + B x^{2} + C x^{2} - 4 x B - 4 A$

Étape 1.1.9.4

Déplacez $A x$ .

$2 x^{2} - 12 x + 4 = B x^{2} + C x^{2} + A x - 4 x B - 4 A$

Étape 1.2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x^{2}$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$2 = B + C$

Étape 1.2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$- 12 = A - 4 B$

Étape 1.2.3

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $x$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$4 = - 4 A$

Étape 1.2.4

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$2 = B + C$

$- 12 = A - 4 B$

$4 = - 4 A$

$2 = B + C$

$- 12 = A - 4 B$

$4 = - 4 A$

Étape 1.3

Résolvez le système d’équations.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Résolvez $A$ dans $4 = - 4 A$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1.1

Réécrivez l’équation comme $- 4 A = 4$ .

$- 4 A = 4$

$2 = B + C$

$- 12 = A - 4 B$

Étape 1.3.1.2

Divisez chaque terme dans $- 4 A = 4$ par $- 4$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1.2.1

Divisez chaque terme dans $- 4 A = 4$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{4}{- 4}$

$2 = B + C$

$- 12 = A - 4 B$

Étape 1.3.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{4}{- 4}$

$2 = B + C$

$- 12 = A - 4 B$

Étape 1.3.1.2.2.1.2

Divisez $A$ par $1$ .

$A = \frac{4}{- 4}$

$2 = B + C$

$- 12 = A - 4 B$

$A = \frac{4}{- 4}$

$2 = B + C$

$- 12 = A - 4 B$

$A = \frac{4}{- 4}$

$2 = B + C$

$- 12 = A - 4 B$

Étape 1.3.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1.2.3.1

Divisez $4$ par $- 4$ .

$A = - 1$

$2 = B + C$

$- 12 = A - 4 B$

$A = - 1$

$2 = B + C$

$- 12 = A - 4 B$

$A = - 1$

$2 = B + C$

$- 12 = A - 4 B$

$A = - 1$

$2 = B + C$

$- 12 = A - 4 B$

Étape 1.3.2

Remplacez toutes les occurrences de $A$ par $- 1$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $- 12 = A - 4 B$ par $- 1$ .

$- 12 = (- 1) - 4 B$

$A = - 1$

$2 = B + C$

Étape 1.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$- 12 = - 1 - 4 B$

$A = - 1$

$2 = B + C$

$- 12 = - 1 - 4 B$

$A = - 1$

$2 = B + C$

$- 12 = - 1 - 4 B$

$A = - 1$

$2 = B + C$

Étape 1.3.3

Résolvez $B$ dans $- 12 = - 1 - 4 B$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.1

Réécrivez l’équation comme $- 1 - 4 B = - 12$ .

$- 1 - 4 B = - 12$

$A = - 1$

$2 = B + C$

Étape 1.3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $B$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$- 4 B = - 12 + 1$

$A = - 1$

$2 = B + C$

Étape 1.3.3.2.2

Additionnez $- 12$ et $1$ .

$- 4 B = - 11$

$A = - 1$

$2 = B + C$

$- 4 B = - 11$

$A = - 1$

$2 = B + C$

Étape 1.3.3.3

Divisez chaque terme dans $- 4 B = - 11$ par $- 4$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.3.1

Divisez chaque terme dans $- 4 B = - 11$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{- 11}{- 4}$

$A = - 1$

$2 = B + C$

Étape 1.3.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{- 11}{- 4}$

$A = - 1$

$2 = B + C$

Étape 1.3.3.3.2.1.2

Divisez $B$ par $1$ .

$B = \frac{- 11}{- 4}$

$A = - 1$

$2 = B + C$

$B = \frac{- 11}{- 4}$

$A = - 1$

$2 = B + C$

$B = \frac{- 11}{- 4}$

$A = - 1$

$2 = B + C$

Étape 1.3.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.3.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

$2 = B + C$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

$2 = B + C$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

$2 = B + C$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

$2 = B + C$

Étape 1.3.4

Remplacez toutes les occurrences de $B$ par $\frac{11}{4}$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $2 = B + C$ par $\frac{11}{4}$ .

$2 = (\frac{11}{4}) + C$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

Étape 1.3.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.2.1

Supprimez les parenthèses.

$2 = \frac{11}{4} + C$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

$2 = \frac{11}{4} + C$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

$2 = \frac{11}{4} + C$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

Étape 1.3.5

Résolvez $C$ dans $2 = \frac{11}{4} + C$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.5.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{11}{4} + C = 2$ .

$\frac{11}{4} + C = 2$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

Étape 1.3.5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.5.2.1

Soustrayez $\frac{11}{4}$ des deux côtés de l’équation.

$C = 2 - \frac{11}{4}$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

Étape 1.3.5.2.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$C = 2 \cdot \frac{4}{4} - \frac{11}{4}$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

Étape 1.3.5.2.3

Associez $2$ et $\frac{4}{4}$ .

$C = \frac{2 \cdot 4}{4} - \frac{11}{4}$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

Étape 1.3.5.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$C = \frac{2 \cdot 4 - 11}{4}$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

Étape 1.3.5.2.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.5.2.5.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$C = \frac{8 - 11}{4}$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

Étape 1.3.5.2.5.2

Soustrayez $11$ de $8$ .

$C = \frac{- 3}{4}$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

$C = \frac{- 3}{4}$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

Étape 1.3.5.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$C = - \frac{3}{4}$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

$C = - \frac{3}{4}$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

$C = - \frac{3}{4}$

$B = \frac{11}{4}$

$A = - 1$

Étape 1.3.6

Résolvez le système d’équations.

$C = - \frac{3}{4} B = \frac{11}{4} A = - 1$

Étape 1.3.7

Indiquez toutes les solutions.

$C = - \frac{3}{4}, B = \frac{11}{4}, A = - 1$

Étape 1.4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x - 4}$ par les valeurs trouvées pour $A$ , $B$ et $C$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{\frac{11}{4}}{x} + \frac{- \frac{3}{4}}{x - 4}$

Étape 1.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{\frac{11}{4}}{x} + \frac{- \frac{3}{4}}{x - 4}$

Étape 1.5.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{11}{4} \cdot \frac{1}{x} + \frac{- \frac{3}{4}}{x - 4}$

Étape 1.5.3

Multipliez $\frac{11}{4}$ par $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{11}{4 x} + \frac{- \frac{3}{4}}{x - 4}$

Étape 1.5.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{11}{4 x} - \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{x - 4}$

Étape 1.5.5

Multipliez $\frac{1}{x - 4}$ par $\frac{3}{4}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{11}{4 x} - \frac{3}{(x - 4) \cdot 4}$

Étape 1.5.6

Déplacez $4$ à gauche de $x - 4$ .

$\int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{11}{4 x} - \frac{3}{4 (x - 4)} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int - \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{11}{4 x} d x + \int - \frac{3}{4 (x - 4)} d x$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{11}{4 x} d x + \int - \frac{3}{4 (x - 4)} d x$

Étape 4

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int \frac{11}{4 x} d x + \int - \frac{3}{4 (x - 4)} d x$

Étape 4.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int \frac{11}{4 x} d x + \int - \frac{3}{4 (x - 4)} d x$

Étape 4.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \int x^{- 2} d x + \int \frac{11}{4 x} d x + \int - \frac{3}{4 (x - 4)} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$- (- x^{- 1} + C) + \int \frac{11}{4 x} d x + \int - \frac{3}{4 (x - 4)} d x$

Étape 6

Comme $\frac{11}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{11}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$- (- x^{- 1} + C) + \frac{11}{4} \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{3}{4 (x - 4)} d x$

Étape 7

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$- (- x^{- 1} + C) + \frac{11}{4} (\ln (| x |) + C) + \int - \frac{3}{4 (x - 4)} d x$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- (- x^{- 1} + C) + \frac{11}{4} (\ln (| x |) + C) - \int \frac{3}{4 (x - 4)} d x$

Étape 9

Comme $\frac{3}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{3}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$- (- x^{- 1} + C) + \frac{11}{4} (\ln (| x |) + C) - (\frac{3}{4} \int \frac{1}{x - 4} d x)$

Étape 10

Laissez $u = x - 4$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Laissez $u = x - 4$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1.1

Différenciez $x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

Étape 10.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 10.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 10.1.4

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 10.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 10.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$- (- x^{- 1} + C) + \frac{11}{4} (\ln (| x |) + C) - \frac{3}{4} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 11

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- (- x^{- 1} + C) + \frac{11}{4} (\ln (| x |) + C) - \frac{3}{4} (\ln (| u |) + C)$

Étape 12

Simplifiez

$\frac{1}{x} + \frac{11 \ln (| x |)}{4} - \frac{3}{4} \ln (| u |) + C$

Étape 13

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 4$ .

$\frac{1}{x} + \frac{11 \ln (| x |)}{4} - \frac{3}{4} \ln (| x - 4 |) + C$

Étape 14

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{x} + \frac{11}{4} \ln (| x |) - \frac{3}{4} \ln (| x - 4 |) + C$