Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{2 x - 1}{x (x - 1)} d x$

Étape 1

Laissez $u = x (x - 1)$ . Alors $d u = (2 x - 1) d x$ , donc $\frac{1}{2 x - 1} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x (x - 1)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [x (x - 1)]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x - 1$ .

$x \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$x \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.4.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$x + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x + (x - 1) \cdot 1$

Étape 1.1.3.6

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 1.1.3.6.1

Multipliez $x - 1$ par $1$ .

$x + x - 1$

Étape 1.1.3.6.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$2 x - 1$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u$

Étape 2

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Étape 3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x (x - 1)$ .

$\ln (| x (x - 1) |) + C$