Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{3 x^{3}}{\sqrt{x^{2} - 25}} d x$

Étape 1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} - 25}} d x$

Étape 2

Laissez $x = 5 \sec (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = 5 \sec (t) \tan (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $5 \sec (t) \tan (t)$ est positif.

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 3

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Simplifiez $\sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $5 \sec (t)$ .

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{5^{2} \sec^{2} (t) - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 3.1.1.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{25 \sec^{2} (t) - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 3.1.2

Factorisez $25$ à partir de $25 \sec^{2} (t)$ .

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{25 (\sec^{2} (t)) - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 3.1.3

Factorisez $25$ à partir de $- 25$ .

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 3.1.4

Factorisez $25$ à partir de $25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1$ .

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{25 (\sec^{2} (t) - 1)}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 3.1.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{25 \tan^{2} (t)}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 3.1.6

Réécrivez $25 \tan^{2} (t)$ comme ${(5 \tan (t))}^{2}$ .

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{{(5 \tan (t))}^{2}}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 3.1.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{5 \tan (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 3.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $5 \tan (t)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Factorisez $5 \tan (t)$ à partir de $5 \sec (t) \tan (t)$ .

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{5 \tan (t)} (5 \tan (t) (\sec (t))) d t$

Étape 3.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{5 \tan (t)} (5 \tan (t) \sec (t)) d t$

Étape 3.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$3 \int {(5 \sec (t))}^{3} \sec (t) d t$

Étape 3.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5 \sec (t)$ .

$3 \int {(5 (\sec (t)))}^{3} \sec (t) d t$

Étape 3.2.2.2

Appliquez la règle de produit à $5 (\sec (t))$ .

$3 \int 5^{3} \sec^{3} (t) \sec (t) d t$

Étape 3.2.2.3

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$3 \int 125 \sec^{3} (t) \sec (t) d t$

Étape 3.2.2.4

Élevez $\sec (t)$ à la puissance $1$ .

$3 \int 125 (\sec^{1} (t) \sec^{3} (t)) d t$

Étape 3.2.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 \int 125 {\sec (t)}^{1 + 3} d t$

Étape 3.2.2.6

Additionnez $1$ et $3$ .

$3 \int 125 \sec^{4} (t) d t$

Étape 4

Comme $125$ est constant par rapport à $t$ , placez $125$ en dehors de l’intégrale.

$3 (125 \int \sec^{4} (t) d t)$

Étape 5

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Multipliez $125$ par $3$ .

$375 \int \sec^{4} (t) d t$

Étape 5.2

Réécrivez $4$ comme $2$ plus $2$

$375 \int {\sec (t)}^{2 + 2} d t$

Étape 5.3

Réécrivez ${\sec (t)}^{2 + 2}$ comme $\sec^{2} (t) \sec^{2} (t)$ .

$375 \int \sec^{2} (t) \sec^{2} (t) d t$

Étape 6

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\sec^{2} (t)$ comme $1 + \tan^{2} (t)$ .

$375 \int (1 + \tan^{2} (t)) \sec^{2} (t) d t$

Étape 7

Laissez $u = \tan (t)$ . Alors $d u = \sec^{2} (t) d t$ , donc $\frac{1}{\sec^{2} (t)} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Laissez $u = \tan (t)$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1

Différenciez $\tan (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\tan (t)]$

Étape 7.1.2

La dérivée de $\tan (t)$ par rapport à $t$ est $\sec^{2} (t)$ .

$\sec^{2} (t)$

Étape 7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$375 \int 1 + u^{2} d u$

Étape 8

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$375 (\int d u + \int u^{2} d u)$

Étape 9

Appliquez la règle de la constante.

$375 (u + C + \int u^{2} d u)$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$375 (u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

Étape 11

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $u^{3}$ .

$375 (u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

Étape 11.2

Simplifiez

$375 (u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

Étape 12

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\tan (t)$ .

$375 (\tan (t) + \frac{1}{3} \tan^{3} (t)) + C$

Étape 12.2

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $arcsec (\frac{x}{5})$ .

$375 (\tan (arcsec (\frac{x}{5})) + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Étape 13

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(1, \sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ , et l’origine. Alors $arcsec (\frac{x}{5})$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(1, \sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1^{2}})$ . Ainsi, $\tan (arcsec (\frac{x}{5}))$ est $\sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1}$ .

$375 (\sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Étape 13.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$375 (\sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1^{2}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Étape 13.1.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \frac{x}{5}$ et $b = 1$ .

$375 (\sqrt{(\frac{x}{5} + 1) (\frac{x}{5} - 1)} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Étape 13.1.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$375 (\sqrt{(\frac{x}{5} + \frac{5}{5}) (\frac{x}{5} - 1)} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Étape 13.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$375 (\sqrt{\frac{x + 5}{5} (\frac{x}{5} - 1)} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Étape 13.1.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$375 (\sqrt{\frac{x + 5}{5} (\frac{x}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5})} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Étape 13.1.7

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$375 (\sqrt{\frac{x + 5}{5} (\frac{x}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5})} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Étape 13.1.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$375 (\sqrt{\frac{x + 5}{5} \cdot \frac{x - 1 \cdot 5}{5}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Étape 13.1.9

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$375 (\sqrt{\frac{x + 5}{5} \cdot \frac{x - 5}{5}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Étape 13.1.10

Multipliez $\frac{x + 5}{5}$ par $\frac{x - 5}{5}$ .

$375 (\sqrt{\frac{(x + 5) (x - 5)}{5 \cdot 5}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Étape 13.1.11

Multipliez $5$ par $5$ .

$375 (\sqrt{\frac{(x + 5) (x - 5)}{25}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Étape 13.1.12

Réécrivez $\frac{(x + 5) (x - 5)}{25}$ comme ${(\frac{1}{5})}^{2} ((x + 5) (x - 5))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.12.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $(x + 5) (x - 5)$ .

$375 (\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{25}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Étape 13.1.12.2

Factorisez la puissance parfaite $5^{2}$ dans $25$ .

$375 (\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{5^{2} \cdot 1}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Étape 13.1.12.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{5^{2} \cdot 1}$ .

$375 (\sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} ((x + 5) (x - 5))} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Étape 13.1.13

Extrayez les termes de sous le radical.

$375 (\frac{1}{5} \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Étape 13.1.14

Associez $\frac{1}{5}$ et $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ .

$375 (\frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Étape 13.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))$ .

$375 (\frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5} + \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))}{3}) + C$

Étape 13.3

Appliquez la propriété distributive.

$375 \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5} + 375 \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))}{3} + C$

Étape 13.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.4.1

Factorisez $5$ à partir de $375$ .

$5 (75) \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5} + 375 \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))}{3} + C$

Étape 13.4.2

Annulez le facteur commun.

$5 \cdot 75 \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5} + 375 \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))}{3} + C$

Étape 13.4.3

Réécrivez l’expression.

$75 \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + 375 \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))}{3} + C$

Étape 13.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.5.1

Factorisez $3$ à partir de $375$ .

$75 \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + 3 (125) \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))}{3} + C$

Étape 13.5.2

Annulez le facteur commun.

$75 \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + 3 \cdot 125 \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))}{3} + C$

Étape 13.5.3

Réécrivez l’expression.

$75 \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + 125 \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5})) + C$

Étape 14

Remettez les termes dans l’ordre.

$75 \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + 125 \tan^{3} (arcsec (\frac{1}{5} x)) + C$