Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} d x$

Étape 1

Laissez $u = \sin (x)$ . Alors $d u = \cos (x) d x$ , donc $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = \sin (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (\frac{π}{4})$

Étape 1.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Étape 1.5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$u_{upper} = 1$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$u_{upper} = 1$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1

Retirez $u^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Étape 2.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} u^{2 \cdot - 1} d u$

Étape 2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} u^{- 2} d u$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 2}$ par rapport à $u$ est $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1}]_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1}$

Étape 4

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.1

Évaluez $- u^{- 1}$ sur $1$ et sur $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(- 1^{- 1}) + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{- 1}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 1 \cdot 1 + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{- 1}$

Étape 4.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1 + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{- 1}$

Étape 4.2.3

Modifiez le signe de l’exposant en réécrivant la base comme sa réciproque.

$- 1 + \frac{2}{\sqrt{2}}$

Étape 5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 1 + \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 5.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 5.2.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 5.2.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 5.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 5.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 5.2.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 5.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 5.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.1

Annulez le facteur commun.

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 5.3.2

Divisez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$- 1 + \sqrt{2}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- 1 + \sqrt{2}$

Forme décimale :

$0.41421356 \dots$