Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{\frac{- π}{4}}^{\frac{3 π}{4}} 2 \sec (x) \tan (x) d x$

Étape 1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int_{\frac{- π}{4}}^{\frac{3 π}{4}} \sec (x) \tan (x) d x$

Étape 2

Comme la dérivée de $\sec (x)$ est $\sec (x) \tan (x)$ , l’intégrale de $\sec (x) \tan (x)$ est $\sec (x)$ .

$2 (\sec (x)]_{\frac{- π}{4}}^{\frac{3 π}{4}})$

Étape 3

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.1

Évaluez $\sec (x)$ sur $\frac{3 π}{4}$ et sur $\frac{- π}{4}$ .

$2 ((\sec (\frac{3 π}{4})) - \sec (\frac{- π}{4}))$

Étape 3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 (\sec (\frac{3 π}{4}) - \sec (- \frac{π}{4}))$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la sécante est négative dans le deuxième quadrant.

$2 (- \sec (\frac{π}{4}) - \sec (- \frac{π}{4}))$

Étape 4.1.2

La valeur exacte de $\sec (\frac{π}{4})$ est $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$2 (- \frac{2}{\sqrt{2}} - \sec (- \frac{π}{4}))$

Étape 4.1.3

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$2 (- \frac{2}{\sqrt{2}} - \sec (\frac{7 π}{4}))$

Étape 4.1.4

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$2 (- \frac{2}{\sqrt{2}} - \sec (\frac{π}{4}))$

Étape 4.1.5

La valeur exacte de $\sec (\frac{π}{4})$ est $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$2 (- \frac{2}{\sqrt{2}} - \frac{2}{\sqrt{2}})$

Étape 4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 \frac{- 2 - 2}{\sqrt{2}}$

Étape 4.3

Soustrayez $2$ de $- 2$ .

$2 \frac{- 4}{\sqrt{2}}$

Étape 4.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 (- \frac{4}{\sqrt{2}})$

Étape 4.5

Multipliez $2 (- \frac{4}{\sqrt{2}})$ .

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Étape 4.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \frac{4}{\sqrt{2}}$

Étape 4.5.2

Associez $- 2$ et $\frac{4}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 4}{\sqrt{2}}$

Étape 4.5.3

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$\frac{- 8}{\sqrt{2}}$

Étape 4.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{8}{\sqrt{2}}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{8}{\sqrt{2}}$

Forme décimale :

$- 5.65685424 \dots$