Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} \sin (x) - \cos (x) d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} \sin (x) d x + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} - \cos (x) d x$

Étape 2

L’intégrale de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \cos (x)$ .

$- \cos (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} - \cos (x) d x$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \cos (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} - \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} \cos (x) d x$

Étape 4

L’intégrale de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $\sin (x)$ .

$- \cos (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} - (\sin (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}})$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.1.1

Évaluez $- \cos (x)$ sur $\frac{5 π}{4}$ et sur $\frac{π}{4}$ .

$(- \cos (\frac{5 π}{4})) + \cos (\frac{π}{4}) - (\sin (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}})$

Étape 5.1.2

Évaluez $\sin (x)$ sur $\frac{5 π}{4}$ et sur $\frac{π}{4}$ .

$- \cos (\frac{5 π}{4}) + \cos (\frac{π}{4}) - (\sin (\frac{5 π}{4}) - \sin (\frac{π}{4}))$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \cos (\frac{5 π}{4}) + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\sin (\frac{5 π}{4}) - \sin (\frac{π}{4}))$

Étape 5.2.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \cos (\frac{5 π}{4}) + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\sin (\frac{5 π}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le troisième quadrant.

$- - \cos (\frac{π}{4}) + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\sin (\frac{5 π}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 5.3.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\sin (\frac{5 π}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 5.3.3

Multipliez $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 5.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\sin (\frac{5 π}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 5.3.3.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\sin (\frac{5 π}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 5.3.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.4.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le troisième quadrant.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \sin (\frac{π}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 5.3.4.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 5.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Étape 5.3.6

Soustrayez $\sqrt{2}$ de $- \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 5.3.7

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 5.3.7.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Étape 5.3.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Étape 5.3.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{- \sqrt{2}}{1}$

Étape 5.3.7.2.4

Divisez $- \sqrt{2}$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - - \sqrt{2}$

Étape 5.3.8

Multipliez $- - \sqrt{2}$ .

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Étape 5.3.8.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \sqrt{2}$

Étape 5.3.8.2

Multipliez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2}$

Étape 5.3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2}$

Étape 5.3.10

Additionnez $\sqrt{2}$ et $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2}$

Étape 5.3.11

Pour écrire $\sqrt{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 5.3.12

Associez $\sqrt{2}$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2}{2}$

Étape 5.3.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2}{2}$

Étape 5.3.14

Réorganisez les facteurs de $\sqrt{2} \cdot 2$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 5.3.15

Additionnez $2 \sqrt{2}$ et $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{2}$

Étape 6

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 6.1

Factorisez $2$ à partir de $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2}$

Étape 6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Étape 6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sqrt{2}}{1}$

Étape 6.2.4

Divisez $2 \sqrt{2}$ par $1$ .

$2 \sqrt{2}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$2 \sqrt{2}$

Forme décimale :

$2.82842712 \dots$