Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot^{3} (x) d x$

Étape 1

Appliquez la formule de réduction.

$- \frac{\cot^{2} (x)}{2}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} - \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (x) d x$

Étape 2

L’intégrale de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $\ln (| \sin (x) |)$ .

$- \frac{\cot^{2} (x)}{2}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} - (\ln (| \sin (x) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}})$

Étape 3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.1.1

Évaluez $- \frac{\cot^{2} (x)}{2}$ sur $\frac{π}{2}$ et sur $\frac{π}{4}$ .

$(- \frac{\cot^{2} (\frac{π}{2})}{2}) + \frac{\cot^{2} (\frac{π}{4})}{2} - (\ln (| \sin (x) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}})$

Étape 3.1.2

Évaluez $\ln (| \sin (x) |)$ sur $\frac{π}{2}$ et sur $\frac{π}{4}$ .

$- \frac{\cot^{2} (\frac{π}{2})}{2} + \frac{\cot^{2} (\frac{π}{4})}{2} - (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$

Étape 3.1.3

Simplifiez

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Étape 3.1.3.1

Pour écrire $- (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\cot^{2} (\frac{π}{4})}{2} - \frac{\cot^{2} (\frac{π}{2})}{2} - (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |)) \cdot \frac{2}{2}$

Étape 3.1.3.2

Associez $- (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\cot^{2} (\frac{π}{4})}{2} - \frac{\cot^{2} (\frac{π}{2})}{2} + \frac{- (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |)) \cdot 2}{2}$

Étape 3.1.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\cot^{2} (\frac{π}{4})}{2} + \frac{- \cot^{2} (\frac{π}{2}) - (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |)) \cdot 2}{2}$

Étape 3.1.3.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{\cot^{2} (\frac{π}{4})}{2} + \frac{- \cot^{2} (\frac{π}{2}) - 2 (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))}{2}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

La valeur exacte de $\cot (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$\frac{1^{2}}{2} + \frac{- \cot^{2} (\frac{π}{2}) - 2 (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))}{2}$

Étape 3.2.2

La valeur exacte de $\cot (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$\frac{1^{2}}{2} + \frac{- 0^{2} - 2 (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))}{2}$

Étape 3.2.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$\frac{1^{2}}{2} + \frac{- 0^{2} - 2 (\ln (| 1 |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))}{2}$

Étape 3.2.4

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1^{2}}{2} + \frac{- 0^{2} - 2 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))}{2}$

Étape 3.2.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{2} + \frac{- 0^{2} - 2 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))}{2}$

Étape 3.2.6

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 0 - 2 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))}{2}$

Étape 3.2.7

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{0 - 2 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))}{2}$

Étape 3.2.8

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} + \frac{0 - 2 \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})}{2}$

Étape 3.2.9

Soustrayez $2 \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$ de $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 2 \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})}{2}$

Étape 3.2.10

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 3.2.10.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2 (- \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |}))}{2}$

Étape 3.2.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.10.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2 (- \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |}))}{2 (1)}$

Étape 3.2.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} + \frac{2 (- \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |}))}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} + \frac{- \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})}{1}$

Étape 3.2.10.2.4

Divisez $- \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$ par $1$ .

$\frac{1}{2} - \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{1}{2} - \ln (\frac{1}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

Étape 3.3.2

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ est d’environ $0.70710678$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{1}{2} - \ln (\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

Étape 3.3.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{2} - \ln (1 \frac{2}{\sqrt{2}})$

Étape 3.3.4

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} - \ln (\frac{2}{\sqrt{2}})$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{2} - \ln (\frac{2}{\sqrt{2}})$

Forme décimale :

$0.15342640 \dots$