Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} x \cos (4 x) d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \cos (4 x)$ .

$x (\frac{1}{4} \sin (4 x))]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{4} \sin (4 x) d x$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $\sin (4 x)$ .

$x \frac{\sin (4 x)}{4}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{4} \sin (4 x) d x$

Étape 2.2

Associez $x$ et $\frac{\sin (4 x)}{4}$ .

$\frac{x \sin (4 x)}{4}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{1}{4} \sin (4 x) d x$

Étape 3

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{x \sin (4 x)}{4}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - (\frac{1}{4} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \sin (4 x) d x)$

Étape 4

Laissez $u = 4 x$ . Alors $d u = 4 d x$ , donc $\frac{1}{4} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = 4 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 4.1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Étape 4.1.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$4$

Étape 4.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 4 x$ .

$u_{lower} = 4 \frac{π}{4}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun.

$u_{lower} = 4 \frac{π}{4}$

Étape 4.3.2

Réécrivez l’expression.

$u_{lower} = π$

Étape 4.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 4 x$ .

$u_{upper} = 4 \frac{π}{3}$

Étape 4.5

Associez $4$ et $\frac{π}{3}$ .

$u_{upper} = \frac{4 π}{3}$

Étape 4.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = π$

$u_{upper} = \frac{4 π}{3}$

Étape 4.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\frac{x \sin (4 x)}{4}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - \frac{1}{4} \int_{π}^{\frac{4 π}{3}} \sin (u) \frac{1}{4} d u$

Étape 5

Associez $\sin (u)$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x \sin (4 x)}{4}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - \frac{1}{4} \int_{π}^{\frac{4 π}{3}} \frac{\sin (u)}{4} d u$

Étape 6

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{x \sin (4 x)}{4}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int_{π}^{\frac{4 π}{3}} \sin (u) d u)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x \sin (4 x)}{4}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int_{π}^{\frac{4 π}{3}} \sin (u) d u$

Étape 7.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{x \sin (4 x)}{4}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - \frac{1}{16} \int_{π}^{\frac{4 π}{3}} \sin (u) d u$

Étape 8

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$\frac{x \sin (4 x)}{4}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - \frac{1}{16} - \cos (u)]_{π}^{\frac{4 π}{3}}$

Étape 9

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.1

Évaluez $\frac{x \sin (4 x)}{4}$ sur $\frac{π}{3}$ et sur $\frac{π}{4}$ .

$(\frac{\frac{π}{3} \sin (4 \frac{π}{3})}{4}) - \frac{\frac{π}{4} \sin (4 \frac{π}{4})}{4} - \frac{1}{16} - \cos (u)]_{π}^{\frac{4 π}{3}}$

Étape 9.2

Évaluez $- \cos (u)$ sur $\frac{4 π}{3}$ et sur $π$ .

$(\frac{\frac{π}{3} \sin (4 \frac{π}{3})}{4}) - \frac{\frac{π}{4} \sin (4 \frac{π}{4})}{4} - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

Associez $4$ et $\frac{π}{3}$ .

$\frac{\frac{π}{3} \sin (\frac{4 π}{3})}{4} - \frac{\frac{π}{4} \sin (4 \frac{π}{4})}{4} - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

Étape 9.3.2

Associez $\frac{π}{3}$ et $\sin (\frac{4 π}{3})$ .

$\frac{\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{3}}{4} - \frac{\frac{π}{4} \sin (4 \frac{π}{4})}{4} - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

Étape 9.3.3

Réécrivez $\frac{\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{3}}{4}$ comme un produit.

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{3} \cdot \frac{1}{4} - \frac{\frac{π}{4} \sin (4 \frac{π}{4})}{4} - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

Étape 9.3.4

Multipliez $\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{3}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{3 \cdot 4} - \frac{\frac{π}{4} \sin (4 \frac{π}{4})}{4} - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

Étape 9.3.5

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{12} - \frac{\frac{π}{4} \sin (4 \frac{π}{4})}{4} - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

Étape 9.3.6

Associez $4$ et $\frac{π}{4}$ .

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{12} - \frac{\frac{π}{4} \sin (\frac{4 π}{4})}{4} - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

Étape 9.3.7

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 9.3.7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{12} - \frac{\frac{π}{4} \sin (\frac{4 π}{4})}{4} - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

Étape 9.3.7.2

Divisez $π$ par $1$ .

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{12} - \frac{\frac{π}{4} \sin (π)}{4} - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

Étape 9.3.8

Associez $\frac{π}{4}$ et $\sin (π)$ .

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{12} - \frac{\frac{π \sin (π)}{4}}{4} - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

Étape 9.3.9

Réécrivez $\frac{\frac{π \sin (π)}{4}}{4}$ comme un produit.

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{12} - (\frac{π \sin (π)}{4} \cdot \frac{1}{4}) - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

Étape 9.3.10

Multipliez $\frac{π \sin (π)}{4}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{12} - \frac{π \sin (π)}{4 \cdot 4} - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

Étape 9.3.11

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{12} - \frac{π \sin (π)}{16} - \frac{1}{16} ((- \cos (\frac{4 π}{3})) + \cos (π))$

Étape 9.3.12

Pour écrire $- \frac{1}{16} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π))$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{12}{12}$ .

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{12} - \frac{1}{16} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π)) \cdot \frac{12}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Étape 9.3.13

Associez $- \frac{1}{16} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π))$ et $\frac{12}{12}$ .

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3})}{12} + \frac{- \frac{1}{16} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π)) \cdot 12}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Étape 9.3.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3}) - \frac{1}{16} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π)) \cdot 12}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Étape 9.3.15

Multipliez $12$ par $- 1$ .

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3}) - 12 (\frac{1}{16}) (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Étape 9.3.16

Associez $- 12$ et $\frac{1}{16}$ .

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3}) + \frac{- 12}{16} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Étape 9.3.17

Annulez le facteur commun à $- 12$ et $16$ .

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Étape 9.3.17.1

Factorisez $4$ à partir de $- 12$ .

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3}) + \frac{4 (- 3)}{16} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Étape 9.3.17.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.17.2.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3}) + \frac{4 \cdot - 3}{4 \cdot 4} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Étape 9.3.17.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3}) + \frac{4 \cdot - 3}{4 \cdot 4} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Étape 9.3.17.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3}) + \frac{- 3}{4} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Étape 9.3.18

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{π \sin (\frac{4 π}{3}) - \frac{3}{4} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le troisième quadrant.

$\frac{π (- \sin (\frac{π}{3})) - \frac{3}{4} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Étape 10.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{π (- \frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{3}{4} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Étape 10.1.3

Associez $π$ et $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} (- \cos (\frac{4 π}{3}) + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Étape 10.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.4.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le troisième quadrant.

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} (- - \cos (\frac{π}{3}) + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Étape 10.1.4.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} (- - \frac{1}{2} + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Étape 10.1.4.3

Multipliez $- - \frac{1}{2}$ .

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Étape 10.1.4.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} (1 (\frac{1}{2}) + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Étape 10.1.4.3.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} (\frac{1}{2} + \cos (π))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Étape 10.1.4.4

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} (\frac{1}{2} - \cos (0))}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Étape 10.1.4.5

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} (\frac{1}{2} - 1 \cdot 1)}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Étape 10.1.4.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} (\frac{1}{2} - 1)}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Étape 10.1.5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Étape 10.1.6

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Étape 10.1.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Étape 10.1.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1.8.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} \cdot \frac{1 - 2}{2}}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Étape 10.1.8.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} \cdot \frac{- 1}{2}}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Étape 10.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{4} (- \frac{1}{2})}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Étape 10.1.10

Multipliez $- \frac{3}{4} (- \frac{1}{2})$ .

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Étape 10.1.10.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} + 1 (\frac{3}{4}) \frac{1}{2}}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Étape 10.1.10.2

Multipliez $\frac{3}{4}$ par $1$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2}}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Étape 10.1.10.3

Multipliez $\frac{3}{4}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} + \frac{3}{4 \cdot 2}}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Étape 10.1.10.4

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} + \frac{3}{8}}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Étape 10.1.11

Pour écrire $- \frac{π \sqrt{3}}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{3}{8}}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Étape 10.1.12

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 10.1.12.1

Multipliez $\frac{π \sqrt{3}}{2}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3} \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{3}{8}}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Étape 10.1.12.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{- \frac{π \sqrt{3} \cdot 4}{8} + \frac{3}{8}}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Étape 10.1.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{- π \sqrt{3} \cdot 4 + 3}{8}}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Étape 10.1.14

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{- 4 π \sqrt{3} + 3}{8}}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Étape 10.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{- 4 π \sqrt{3} + 3}{8} \cdot \frac{1}{12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Étape 10.3

Multipliez $\frac{- 4 π \sqrt{3} + 3}{8} \cdot \frac{1}{12}$ .

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Étape 10.3.1

Multipliez $\frac{- 4 π \sqrt{3} + 3}{8}$ par $\frac{1}{12}$ .

$\frac{- 4 π \sqrt{3} + 3}{8 \cdot 12} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Étape 10.3.2

Multipliez $8$ par $12$ .

$\frac{- 4 π \sqrt{3} + 3}{96} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Étape 10.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 π \sqrt{3}$ .

$\frac{- (4 π \sqrt{3}) + 3}{96} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Étape 10.5

Réécrivez $3$ comme $- 1 (- 3)$ .

$\frac{- (4 π \sqrt{3}) - 1 (- 3)}{96} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Étape 10.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 π \sqrt{3}) - 1 (- 3)$ .

$\frac{- (4 π \sqrt{3} - 3)}{96} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Étape 10.7

Réécrivez $- (4 π \sqrt{3} - 3)$ comme $- 1 (4 π \sqrt{3} - 3)$ .

$\frac{- 1 (4 π \sqrt{3} - 3)}{96} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Étape 10.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4 π \sqrt{3} - 3}{96} - \frac{π \sin (π)}{16}$

Étape 10.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.9.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$- \frac{4 π \sqrt{3} - 3}{96} - \frac{π \sin (0)}{16}$

Étape 10.9.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$- \frac{4 π \sqrt{3} - 3}{96} - \frac{π \cdot 0}{16}$

Étape 10.10

Multipliez $π$ par $0$ .

$- \frac{4 π \sqrt{3} - 3}{96} - \frac{0}{16}$

Étape 10.11

Divisez $0$ par $16$ .

$- \frac{4 π \sqrt{3} - 3}{96} - 0$

Étape 11

Soustrayez $0$ de $- \frac{4 π \sqrt{3} - 3}{96}$ .

$- \frac{4 π \sqrt{3} - 3}{96}$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{4 π \sqrt{3} - 3}{96}$

Forme décimale :

$- 0.19547492 \dots$