Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}} 2 \sin (2 x) \cos (2 x) d x$

Étape 1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}} \sin (2 x) \cos (2 x) d x$

Étape 2

Laissez $u_{2} = \sin (2 x)$ . Alors $d u_{2} = 2 \cos (2 x) d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = \cos (2 x) d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.1

Laissez $u_{2} = \sin (2 x)$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $\sin (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.1.2.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.1.3

Différenciez.

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Étape 2.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Étape 2.1.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.3.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2$

Étape 2.1.3.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x)$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u_{2} = \sin (2 x)$ .

$u_{lower} = \sin (2 \frac{π}{6})$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$u_{lower} = \sin (2 \frac{π}{2 (3)})$

Étape 2.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$u_{lower} = \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Étape 2.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$u_{lower} = \sin (\frac{π}{3})$

Étape 2.3.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u_{2} = \sin (2 x)$ .

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{4})$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{2 (2)})$

Étape 2.5.1.2

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

Étape 2.5.1.3

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Étape 2.5.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$u_{upper} = 1$

Étape 2.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$u_{upper} = 1$

Étape 2.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ , $d u_{2}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$2 \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} u_{2} \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 3

Associez $u_{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$2 \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{1}{2} \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} u_{2} d u_{2})$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2}{2} \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} u_{2} d u_{2}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2} \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} u_{2} d u_{2}$

Étape 5.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} u_{2} d u_{2}$

Étape 5.3

Multipliez $\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} u_{2} d u_{2}$ par $1$ .

$\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} u_{2} d u_{2}$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u_{2}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}]_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1}$

Étape 7

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.1

Évaluez $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ sur $1$ et sur $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}$

Étape 7.2.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$

Étape 8.1.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 8.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Étape 8.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Étape 8.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Étape 8.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Étape 8.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3^{1}}{2^{2}}$

Étape 8.1.2.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2^{2}}$

Étape 8.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}$

Étape 8.1.4

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}$ .

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Étape 8.1.4.1

Multipliez $\frac{3}{4}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{3}{4 \cdot 2}$

Étape 8.1.4.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{1}{2} - \frac{3}{8}$

Étape 8.2

Pour écrire $\frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{3}{8}$

Étape 8.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{2 \cdot 4} - \frac{3}{8}$

Étape 8.3.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{4}{8} - \frac{3}{8}$

Étape 8.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 - 3}{8}$

Étape 8.5

Soustrayez $3$ de $4$ .

$\frac{1}{8}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{8}$

Forme décimale :

$0.125$