Calcul infinitésimal Exemples

$\int \sec^{4} (x) \tan^{3} (x) d x$

Étape 1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1

Réécrivez $4$ comme $2$ plus $2$

$\int {\sec (x)}^{2 + 2} \tan^{3} (x) d x$

Étape 1.2

Réécrivez ${\sec (x)}^{2 + 2}$ comme $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$\int \sec^{2} (x) \sec^{2} (x) \tan^{3} (x) d x$

Étape 2

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\sec^{2} (x)$ comme $1 + \tan^{2} (x)$ .

$\int (1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x) \tan^{3} (x) d x$

Étape 3

Laissez $u = \tan (x)$ . Alors $d u = \sec^{2} (x) d x$ , donc $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = \tan (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int (1 + u^{2}) u^{3} d u$

Étape 4

Développez $(1 + u^{2}) u^{3}$ .

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int 1 u^{3} + u^{2} u^{3} d u$

Étape 4.2

Multipliez $u^{3}$ par $1$ .

$\int u^{3} + u^{2} u^{3} d u$

Étape 4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int u^{3} + u^{2 + 3} d u$

Étape 4.4

Additionnez $2$ et $3$ .

$\int u^{3} + u^{5} d u$

Étape 4.5

Remettez dans l’ordre $u^{3}$ et $u^{5}$ .

$\int u^{5} + u^{3} d u$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int u^{5} d u + \int u^{3} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{5}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + C + \int u^{3} d u$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{3}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + C + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Étape 8

Simplifiez

$\frac{1}{6} u^{6} + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\tan (x)$ .

$\frac{1}{6} \tan^{6} (x) + \frac{1}{4} \tan^{4} (x) + C$