Calcul infinitésimal Exemples

$\int \sec^{2} (x) \ln (e^{\tan (x)}) d x$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $\tan (x)$ de l’exposant.

$\int \sec^{2} (x) (\tan (x) \ln (e)) d x$

Étape 1.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\int \sec^{2} (x) (\tan (x) \cdot 1) d x$

Étape 1.3

Multipliez $\tan (x)$ par $1$ .

$\int \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

Étape 2

Laissez $u = \sec (x)$ . Alors $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , donc $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = \sec (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int u d u$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sec (x)$ .

$\frac{1}{2} \sec^{2} (x) + C$