Calcul infinitésimal Exemples

$\int u^{- 5} (2 - u^{5} + u^{10}) d u$

Étape 1

Développez $u^{- 5} (2 - u^{5} + u^{10})$ .

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int u^{- 5} (2 - u^{5}) + u^{- 5} u^{10} d u$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int u^{- 5} \cdot 2 + u^{- 5} (- u^{5}) + u^{- 5} u^{10} d u$

Étape 1.3

Remettez dans l’ordre $u^{- 5}$ et $2$ .

$\int 2 \cdot u^{- 5} + u^{- 5} (- u^{5}) + u^{- 5} u^{10} d u$

Étape 1.4

Remettez dans l’ordre $u^{- 5}$ et $- 1$ .

$\int 2 \cdot u^{- 5} - 1 \cdot u^{- 5} u^{5} + u^{- 5} u^{10} d u$

Étape 1.5

Factorisez le signe négatif.

$\int 2 u^{- 5} - (u^{- 5} u^{5}) + u^{- 5} u^{10} d u$

Étape 1.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 2 u^{- 5} - u^{- 5 + 5} + u^{- 5} u^{10} d u$

Étape 1.7

Additionnez $- 5$ et $5$ .

$\int 2 u^{- 5} - u^{0} + u^{- 5} u^{10} d u$

Étape 1.8

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\int 2 u^{- 5} - 1 \cdot 1 + u^{- 5} u^{10} d u$

Étape 1.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\int 2 u^{- 5} - 1 + u^{- 5} u^{10} d u$

Étape 1.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 2 u^{- 5} - 1 + u^{- 5 + 10} d u$

Étape 1.11

Additionnez $- 5$ et $10$ .

$\int 2 u^{- 5} - 1 + u^{5} d u$

Étape 1.12

Déplacez $- 1$ .

$\int 2 u^{- 5} + u^{5} - 1 d u$

Étape 1.13

Remettez dans l’ordre $2 u^{- 5}$ et $u^{5}$ .

$\int u^{5} + 2 u^{- 5} - 1 d u$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int u^{5} d u + \int 2 u^{- 5} d u + \int - 1 d u$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{5}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + C + \int 2 u^{- 5} d u + \int - 1 d u$

Étape 4

Comme $2$ est constant par rapport à $u$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{6} u^{6} + C + 2 \int u^{- 5} d u + \int - 1 d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 5}$ par rapport à $u$ est $- \frac{1}{4} u^{- 4}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + C + 2 (- \frac{1}{4} u^{- 4} + C) + \int - 1 d u$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Associez $u^{- 4}$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + C + 2 (- \frac{u^{- 4}}{4} + C) + \int - 1 d u$

Étape 6.2

Placez $u^{- 4}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + C + 2 (- \frac{1}{4 u^{4}} + C) + \int - 1 d u$

Étape 7

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{6} u^{6} + C + 2 (- \frac{1}{4 u^{4}} + C) - u + C$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Simplifiez

$\frac{u^{6}}{6} - \frac{1}{2 u^{4}} - u + C$

Étape 8.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{6} u^{6} - \frac{1}{2 u^{4}} - u + C$