Calcul infinitésimal Exemples

$\int \tan^{7} (x) d x$

Étape 1

Factorisez $\tan^{6} (x)$ .

$\int \tan^{6} (x) \tan (x) d x$

Étape 2

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\int {\tan (x)}^{2 (3)} \tan (x) d x$

Étape 2.2

Réécrivez ${\tan (x)}^{2 (3)}$ comme une élévation à une puissance.

$\int {(\tan^{2} (x))}^{3} \tan (x) d x$

Étape 3

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\tan^{2} (x)$ comme $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int {(- 1 + \sec^{2} (x))}^{3} \tan (x) d x$

Étape 4

Utilisez le théorème du binôme.

$\int ({(- 1)}^{3} + 3 {(- 1)}^{2} \sec^{2} (x) + 3 \cdot - 1 {(\sec^{2} (x))}^{2} + {(\sec^{2} (x))}^{3}) \tan (x) d x$

Étape 5

Simplifiez en multipliant.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int {(- 1)}^{3} \tan (x) + 3 {(- 1)}^{2} \sec^{2} (x) \tan (x) + 3 \cdot - 1 {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{3} \tan (x) d x$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\int - 1 \tan (x) + 3 {(- 1)}^{2} \sec^{2} (x) \tan (x) + 3 \cdot - 1 {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{3} \tan (x) d x$

Étape 5.2.2

Réécrivez $- 1 \tan (x)$ comme $- \tan (x)$ .

$\int - \tan (x) + 3 {(- 1)}^{2} \sec^{2} (x) \tan (x) + 3 \cdot - 1 {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{3} \tan (x) d x$

Étape 5.2.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\int - \tan (x) + 3 \cdot 1 \sec^{2} (x) \tan (x) + 3 \cdot - 1 {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{3} \tan (x) d x$

Étape 5.2.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$\int - \tan (x) + 3 \sec^{2} (x) \tan (x) + 3 \cdot - 1 {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{3} \tan (x) d x$

Étape 5.2.5

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\int - \tan (x) + 3 \sec^{2} (x) \tan (x) - 3 {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{3} \tan (x) d x$

Étape 5.2.6

Multipliez les exposants dans ${(\sec^{2} (x))}^{2}$ .

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Étape 5.2.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int - \tan (x) + 3 \sec^{2} (x) \tan (x) - 3 {\sec (x)}^{2 \cdot 2} \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{3} \tan (x) d x$

Étape 5.2.6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\int - \tan (x) + 3 \sec^{2} (x) \tan (x) - 3 \sec^{4} (x) \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{3} \tan (x) d x$

Étape 5.2.7

Multipliez les exposants dans ${(\sec^{2} (x))}^{3}$ .

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Étape 5.2.7.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int - \tan (x) + 3 \sec^{2} (x) \tan (x) - 3 \sec^{4} (x) \tan (x) + {\sec (x)}^{2 \cdot 3} \tan (x) d x$

Étape 5.2.7.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\int - \tan (x) + 3 \sec^{2} (x) \tan (x) - 3 \sec^{4} (x) \tan (x) + \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Étape 6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int - \tan (x) d x + \int 3 \sec^{2} (x) \tan (x) d x + \int - 3 \sec^{4} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \tan (x) d x + \int 3 \sec^{2} (x) \tan (x) d x + \int - 3 \sec^{4} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Étape 8

L’intégrale de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\ln (| \sec (x) |)$ .

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + \int 3 \sec^{2} (x) \tan (x) d x + \int - 3 \sec^{4} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Étape 9

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + 3 \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x + \int - 3 \sec^{4} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Étape 10

Laissez $u_{1} = \sec (x)$ . Alors $d u_{1} = \sec (x) \tan (x) d x$ , donc $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 10.1

Laissez $u_{1} = \sec (x)$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 10.1.1

Différenciez $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Étape 10.1.2

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Étape 10.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + 3 \int u_{1} d u_{1} + \int - 3 \sec^{4} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u_{1}$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{2} {u_{1}}^{2}$ .

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + 3 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) + \int - 3 \sec^{4} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Étape 12

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + 3 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) - 3 \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Étape 13

Laissez $u_{2} = \sec (x)$ . Alors $d u_{2} = \sec (x) \tan (x) d x$ , donc $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 13.1

Laissez $u_{2} = \sec (x)$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 13.1.1

Différenciez $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Étape 13.1.2

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Étape 13.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + 3 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) - 3 \int {u_{2}}^{3} d u_{2} + \int \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Étape 14

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{3}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}$ .

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + 3 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) - 3 (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C) + \int \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Étape 15

Laissez $u_{3} = \sec (x)$ . Alors $d u_{3} = \sec (x) \tan (x) d x$ , donc $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u_{3} = d x$ . Réécrivez avec $u_{3}$ et $d$ $u_{3}$ .

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Étape 15.1

Laissez $u_{3} = \sec (x)$ . Déterminez $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

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Étape 15.1.1

Différenciez $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Étape 15.1.2

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Étape 15.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{3}$ et $d u_{3}$ .

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + 3 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) - 3 (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C) + \int {u_{3}}^{5} d u_{3}$

Étape 16

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{3}}^{5}$ par rapport à $u_{3}$ est $\frac{1}{6} {u_{3}}^{6}$ .

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + 3 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) - 3 (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C) + \frac{1}{6} {u_{3}}^{6} + C$

Étape 17

Simplifiez

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Étape 17.1

Simplifiez

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Étape 17.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et ${u_{1}}^{2}$ .

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + 3 (\frac{{u_{1}}^{2}}{2} + C) - 3 (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C) + \frac{1}{6} {u_{3}}^{6} + C$

Étape 17.1.2

Associez $\frac{1}{4}$ et ${u_{2}}^{4}$ .

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + 3 (\frac{{u_{1}}^{2}}{2} + C) - 3 (\frac{{u_{2}}^{4}}{4} + C) + \frac{1}{6} {u_{3}}^{6} + C$

Étape 17.2

Simplifiez

$- \ln (| \sec (x) |) + \frac{3 {u_{1}}^{2}}{2} - \frac{3 {u_{2}}^{4}}{4} + \frac{1}{6} {u_{3}}^{6} + C$

Étape 18

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 18.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sec (x)$ .

$- \ln (| \sec (x) |) + \frac{3 \sec^{2} (x)}{2} - \frac{3 {u_{2}}^{4}}{4} + \frac{1}{6} {u_{3}}^{6} + C$

Étape 18.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\sec (x)$ .

$- \ln (| \sec (x) |) + \frac{3 \sec^{2} (x)}{2} - \frac{3 \sec^{4} (x)}{4} + \frac{1}{6} {u_{3}}^{6} + C$

Étape 18.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $\sec (x)$ .

$- \ln (| \sec (x) |) + \frac{3 \sec^{2} (x)}{2} - \frac{3 \sec^{4} (x)}{4} + \frac{1}{6} \sec^{6} (x) + C$

Étape 19

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \ln (| \sec (x) |) + \frac{3}{2} \sec^{2} (x) - \frac{3}{4} \sec^{4} (x) + \frac{1}{6} \sec^{6} (x) + C$