Calcul infinitésimal Exemples

$\int t^{2} (t - \frac{2}{t}) d t$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int t^{2} t + t^{2} (- \frac{2}{t}) d t$

Étape 1.2

Multipliez $t^{2}$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.1

Multipliez $t^{2}$ par $t$ .

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Étape 1.2.1.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\int t^{2} t^{1} + t^{2} (- \frac{2}{t}) d t$

Étape 1.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int t^{2 + 1} + t^{2} (- \frac{2}{t}) d t$

Étape 1.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$\int t^{3} + t^{2} (- \frac{2}{t}) d t$

Étape 1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\int t^{3} - t^{2} \frac{2}{t} d t$

Étape 1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1

Annulez le facteur commun de $t$ .

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Étape 1.4.1.1

Factorisez $t$ à partir de $- t^{2}$ .

$\int t^{3} + t (- t) \frac{2}{t} d t$

Étape 1.4.1.2

Annulez le facteur commun.

$\int t^{3} + t (- t) \frac{2}{t} d t$

Étape 1.4.1.3

Réécrivez l’expression.

$\int t^{3} - t \cdot 2 d t$

Étape 1.4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int t^{3} - 2 t d t$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int t^{3} d t + \int - 2 t d t$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{3}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{4} t^{4}$ .

$\frac{1}{4} t^{4} + C + \int - 2 t d t$

Étape 4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} t^{4} + C - 2 \int t d t$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{1}{4} t^{4} + C - 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez

$\frac{1}{4} t^{4} - 2 (\frac{1}{2}) t^{2} + C$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} t^{4} + \frac{- 2}{2} t^{2} + C$

Étape 6.2.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 6.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{1}{4} t^{4} + \frac{2 \cdot - 1}{2} t^{2} + C$

Étape 6.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{1}{4} t^{4} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} t^{2} + C$

Étape 6.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4} t^{4} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} t^{2} + C$

Étape 6.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} t^{4} + \frac{- 1}{1} t^{2} + C$

Étape 6.2.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{4} t^{4} - t^{2} + C$