Calcul infinitésimal Exemples

$\int \csc^{4} (\frac{x}{4}) d x$

Étape 1

Laissez $u = \frac{x}{4}$ . Alors $d u = \frac{1}{4} d x$ , donc $4 d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = \frac{x}{4}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\frac{x}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

Étape 1.1.2

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$\frac{1}{4}$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \csc^{4} (u) \frac{1}{\frac{1}{4}} d u$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{4}$ .

$\int \csc^{4} (u) (1 \cdot 4) d u$

Étape 2.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$\int \csc^{4} (u) \cdot 4 d u$

Étape 2.3

Déplacez $4$ à gauche de $\csc^{4} (u)$ .

$\int 4 \csc^{4} (u) d u$

Étape 3

Comme $4$ est constant par rapport à $u$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int \csc^{4} (u) d u$

Étape 4

Appliquez la formule de réduction.

$4 (- \frac{\cot (u) \csc^{2} (u)}{3} + \frac{2}{3} \int \csc^{2} (u) d u)$

Étape 5

Comme la dérivée de $- \cot (u)$ est $\csc^{2} (u)$ , l’intégrale de $\csc^{2} (u)$ est $- \cot (u)$ .

$4 (- \frac{\cot (u) \csc^{2} (u)}{3} + \frac{2}{3} (- \cot (u) + C))$

Étape 6

Réécrivez $4 (- \frac{\cot (u) \csc^{2} (u)}{3} + \frac{2}{3} (- \cot (u) + C))$ comme $4 (- \frac{\cot (u) \csc^{2} (u)}{3} - \frac{2 \cot (u)}{3}) + C$ .

$4 (- \frac{\cot (u) \csc^{2} (u)}{3} - \frac{2 \cot (u)}{3}) + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{4}$ .

$4 (- \frac{\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4})}{3} - \frac{2 \cot (\frac{x}{4})}{3}) + C$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 (- \frac{\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4})}{3}) + 4 (- \frac{2 \cot (\frac{x}{4})}{3}) + C$

Étape 8.2

Multipliez $4 (- \frac{\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4})}{3})$ .

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Étape 8.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 4 \frac{\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4})}{3} + 4 (- \frac{2 \cot (\frac{x}{4})}{3}) + C$

Étape 8.2.2

Associez $- 4$ et $\frac{\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4})}{3}$ .

$\frac{- 4 (\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4}))}{3} + 4 (- \frac{2 \cot (\frac{x}{4})}{3}) + C$

Étape 8.3

Multipliez $4 (- \frac{2 \cot (\frac{x}{4})}{3})$ .

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Étape 8.3.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{- 4 (\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4}))}{3} - 4 \frac{2 \cot (\frac{x}{4})}{3} + C$

Étape 8.3.2

Associez $- 4$ et $\frac{2 \cot (\frac{x}{4})}{3}$ .

$\frac{- 4 (\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4}))}{3} + \frac{- 4 (2 \cot (\frac{x}{4}))}{3} + C$

Étape 8.3.3

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 (\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4}))}{3} + \frac{- 8 \cot (\frac{x}{4})}{3} + C$

Étape 8.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4 \cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4})}{3} + \frac{- 8 \cot (\frac{x}{4})}{3} + C$

Étape 8.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4 \cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4})}{3} - \frac{8 \cot (\frac{x}{4})}{3} + C$

Étape 9

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{4}{3} \cot (\frac{1}{4} x) \csc^{2} (\frac{1}{4} x) - \frac{8}{3} \cot (\frac{1}{4} x) + C$