Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{\csc (x) \cos (x)}{\sin (x)} d x$

Étape 1

Séparez les fractions.

$\int \frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{\csc (x)}{\sin (x)} d x$

Étape 2

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\int \frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{\frac{1}{\sin (x)}}{\sin (x)} d x$

Étape 3

Réécrivez $\frac{\frac{1}{\sin (x)}}{\sin (x)}$ comme un produit.

$\int \frac{\cos (x)}{1} (\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}) d x$

Étape 4

Associez les fractions.

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{1}{\sin (x)}$ par $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\int \frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x) \sin (x)} d x$

Étape 4.2

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\int \cos (x) \frac{1}{\sin (x) \sin (x)} d x$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\int \cos (x) \frac{1}{\sin^{1} (x) \sin (x)} d x$

Étape 5.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\int \cos (x) \frac{1}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)} d x$

Étape 5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \cos (x) \frac{1}{{\sin (x)}^{1 + 1}} d x$

Étape 5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int \cos (x) \frac{1}{\sin^{2} (x)} d x$

Étape 6

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1

Associez $\cos (x)$ et $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$\int \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} d x$

Étape 6.2

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin^{2} (x)$ .

$\int \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} d x$

Étape 7

Séparez les fractions.

$\int \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} d x$

Étape 8

Convertissez de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ à $\cot (x)$ .

$\int \frac{1}{\sin (x)} \cot (x) d x$

Étape 9

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$\int \csc (x) \cot (x) d x$

Étape 10

Comme la dérivée de $- \csc (x)$ est $\csc (x) \cot (x)$ , l’intégrale de $\csc (x) \cot (x)$ est $- \csc (x)$ .

$- \csc (x) + C$