Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{l}{n π} \cdot \cos (\frac{n π x}{l}) d x$

Étape 1

Associez $\frac{l}{n π}$ et $\cos (\frac{n π x}{l})$ .

$\int \frac{l \cos (\frac{n π x}{l})}{n π} d x$

Étape 2

Comme $\frac{l}{n π}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{l}{n π}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{l}{n π} \int \cos (\frac{n π x}{l}) d x$

Étape 3

Laissez $u = \frac{n π x}{l}$ . Alors $d u = \frac{π n}{l} d x$ , donc $\frac{l}{π n} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = \frac{n π x}{l}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $\frac{n π x}{l}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{n π x}{l}]$

Étape 3.1.2

Comme $\frac{n π}{l}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{n π x}{l}$ par rapport à $x$ est $\frac{n π}{l} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{n π}{l} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{n π}{l} \cdot 1$

Étape 3.1.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1.4.1

Multipliez $\frac{n π}{l}$ par $1$ .

$\frac{n π}{l}$

Étape 3.1.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{π n}{l}$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{l}{n π} \int \cos (u) \frac{1}{\frac{π n}{l}} d u$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{π n}{l}$ .

$\frac{l}{n π} \int \cos (u) (1 \frac{l}{π n}) d u$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{l}{π n}$ par $1$ .

$\frac{l}{n π} \int \cos (u) \frac{l}{π n} d u$

Étape 4.3

Associez $\cos (u)$ et $\frac{l}{π n}$ .

$\frac{l}{n π} \int \frac{\cos (u) l}{π n} d u$

Étape 5

Comme $\frac{l}{π n}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{l}{π n}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{l}{n π} (\frac{l}{π n} \int \cos (u) d u)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Multipliez $\frac{l}{π n}$ par $\frac{l}{n π}$ .

$\frac{l \cdot l}{π n (n π)} \int \cos (u) d u$

Étape 6.2

Élevez $l$ à la puissance $1$ .

$\frac{l^{1} l}{π n (n π)} \int \cos (u) d u$

Étape 6.3

Élevez $l$ à la puissance $1$ .

$\frac{l^{1} l^{1}}{π n (n π)} \int \cos (u) d u$

Étape 6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{l^{1 + 1}}{π n (n π)} \int \cos (u) d u$

Étape 6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{l^{2}}{π n (n π)} \int \cos (u) d u$

Étape 6.6

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$\frac{l^{2}}{n (n (π^{1} π))} \int \cos (u) d u$

Étape 6.7

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$\frac{l^{2}}{n (n (π^{1} π^{1}))} \int \cos (u) d u$

Étape 6.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{l^{2}}{n (n π^{1 + 1})} \int \cos (u) d u$

Étape 6.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{l^{2}}{n (n π^{2})} \int \cos (u) d u$

Étape 6.10

Élevez $n$ à la puissance $1$ .

$\frac{l^{2}}{n^{1} n π^{2}} \int \cos (u) d u$

Étape 6.11

Élevez $n$ à la puissance $1$ .

$\frac{l^{2}}{n^{1} n^{1} π^{2}} \int \cos (u) d u$

Étape 6.12

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{l^{2}}{n^{1 + 1} π^{2}} \int \cos (u) d u$

Étape 6.13

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{l^{2}}{n^{2} π^{2}} \int \cos (u) d u$

Étape 7

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$\frac{l^{2}}{n^{2} π^{2}} (\sin (u) + C)$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Simplifiez

$\frac{l^{2}}{n^{2} π^{2}} \sin (u) + C$

Étape 8.2

Associez $\frac{l^{2}}{n^{2} π^{2}}$ et $\sin (u)$ .

$\frac{l^{2} \sin (u)}{n^{2} π^{2}} + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{n π x}{l}$ .

$\frac{l^{2} \sin (\frac{n π x}{l})}{n^{2} π^{2}} + C$