Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{\ln (x^{2})}{x^{2}} d x$

Étape 1

Réécrivez $\frac{\ln (x^{2})}{x^{2}}$ comme $\frac{2 \ln (x)}{x^{2}}$ .

$\int \frac{2 \ln (x)}{x^{2}} d x$

Étape 2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x$

Étape 3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$2 \int \ln (x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 3.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int \ln (x) x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 3.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 \int \ln (x) x^{- 2} d x$

Étape 4

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (x)$ et $d v = x^{- 2}$ .

$2 (\ln (x) (- \frac{1}{x}) - \int - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Associez $\ln (x)$ et $\frac{1}{x}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Étape 5.2

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{1}{x}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x \cdot x} d x)$

Étape 5.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1} x} d x)$

Étape 5.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x)$

Étape 5.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1 + 1}} d x)$

Étape 5.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{2}} d x)$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - - \int \frac{1}{x^{2}} d x)$

Étape 7

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.1

Simplifiez

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Étape 7.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} + 1 \int \frac{1}{x^{2}} d x)$

Étape 7.1.2

Multipliez $\int \frac{1}{x^{2}} d x$ par $1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} + \int \frac{1}{x^{2}} d x)$

Étape 7.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 7.2.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} + \int {(x^{2})}^{- 1} d x)$

Étape 7.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 7.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} + \int x^{2 \cdot - 1} d x)$

Étape 7.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} + \int x^{- 2} d x)$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1} + C)$

Étape 9

Réécrivez $2 (- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1} + C)$ comme $2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x}) + C$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x}) + C$