Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{\frac{π}{2}}^{0} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Étape 1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{0} 1 + \cos (2 t) d t$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} (\int_{\frac{π}{2}}^{0} d t + \int_{\frac{π}{2}}^{0} \cos (2 t) d t)$

Étape 3

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} (t]_{\frac{π}{2}}^{0} + \int_{\frac{π}{2}}^{0} \cos (2 t) d t)$

Étape 4

Laissez $u = 2 t$ . Alors $d u = 2 d t$ , donc $\frac{1}{2} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = 2 t$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Étape 4.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 4.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 4.2

Remplacez la limite inférieure pour $t$ dans $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun.

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2}$

Étape 4.3.2

Réécrivez l’expression.

$u_{lower} = π$

Étape 4.4

Remplacez la limite supérieure pour $t$ dans $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 0$

Étape 4.5

Multipliez $2$ par $0$ .

$u_{upper} = 0$

Étape 4.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = π$

$u_{upper} = 0$

Étape 4.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\frac{1}{2} (t]_{\frac{π}{2}}^{0} + \int_{π}^{0} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Étape 5

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (t]_{\frac{π}{2}}^{0} + \int_{π}^{0} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Étape 6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (t]_{\frac{π}{2}}^{0} + \frac{1}{2} \int_{π}^{0} \cos (u) d u)$

Étape 7

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (t]_{\frac{π}{2}}^{0} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{π}^{0})$

Étape 8

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.1

Évaluez $t$ sur $0$ et sur $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} ((0) - \frac{π}{2} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{π}^{0})$

Étape 8.2

Évaluez $\sin (u)$ sur $0$ et sur $π$ .

$\frac{1}{2} ((0) - \frac{π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (0)) - \sin (π)))$

Étape 8.3

Soustrayez $\frac{π}{2}$ de $0$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (0) - \sin (π)))$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{π}{2} + \frac{1}{2} (0 - \sin (π)))$

Étape 9.2

Soustrayez $\sin (π)$ de $0$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{π}{2} + \frac{1}{2} (- \sin (π)))$

Étape 9.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (π)$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{π}{2} - \frac{\sin (π)}{2})$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{1}{2} (- \frac{π}{2} - \frac{\sin (0)}{2})$

Étape 10.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{π}{2} - \frac{0}{2})$

Étape 10.2

Divisez $0$ par $2$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{π}{2} - 0)$

Étape 10.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{π}{2} + 0)$

Étape 10.4

Additionnez $- \frac{π}{2}$ et $0$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{π}{2})$

Étape 10.5

Multipliez $\frac{1}{2} (- \frac{π}{2})$ .

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Étape 10.5.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{π}{2}$ .

$- \frac{π}{2 \cdot 2}$

Étape 10.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{π}{4}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{π}{4}$

Forme décimale :

$- 0.78539816 \dots$