Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 4 π (1 - \cos (x)) d x$

Étape 1

Comme $4 π$ est constant par rapport à $x$ , placez $4 π$ en dehors de l’intégrale.

$4 π \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 1 - \cos (x) d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$4 π (\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} d x + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \cos (x) d x)$

Étape 3

Appliquez la règle de la constante.

$4 π (x]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \cos (x) d x)$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$4 π (x]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \cos (x) d x)$

Étape 5

L’intégrale de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $\sin (x)$ .

$4 π (x]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - (\sin (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}))$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1.1

Évaluez $x$ sur $\frac{π}{3}$ et sur $- \frac{π}{3}$ .

$4 π ((\frac{π}{3}) + \frac{π}{3} - (\sin (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}))$

Étape 6.1.2

Évaluez $\sin (x)$ sur $\frac{π}{3}$ et sur $- \frac{π}{3}$ .

$4 π (\frac{π}{3} + \frac{π}{3} - (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (- \frac{π}{3})))$

Étape 6.1.3

Simplifiez

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Étape 6.1.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 π (\frac{π + π}{3} - (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (- \frac{π}{3})))$

Étape 6.1.3.2

Additionnez $π$ et $π$ .

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (- \frac{π}{3})))$

Étape 6.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (- \frac{π}{3})))$

Étape 6.3

Simplifiez

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Étape 6.3.1

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (\frac{5 π}{3})))$

Étape 6.3.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\frac{\sqrt{3}}{2} - - \sin (\frac{π}{3})))$

Étape 6.3.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\frac{\sqrt{3}}{2} - - \frac{\sqrt{3}}{2}))$

Étape 6.3.4

Multipliez $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 6.3.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}))$

Étape 6.3.4.2

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $1$ .

$4 π (\frac{2 π}{3} - (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}))$

Étape 6.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 π (\frac{2 π}{3} - \frac{\sqrt{3} + \sqrt{3}}{2})$

Étape 6.3.6

Additionnez $\sqrt{3}$ et $\sqrt{3}$ .

$4 π (\frac{2 π}{3} - \frac{2 \sqrt{3}}{2})$

Étape 6.3.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.7.1

Annulez le facteur commun.

$4 π (\frac{2 π}{3} - \frac{2 \sqrt{3}}{2})$

Étape 6.3.7.2

Divisez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$4 π (\frac{2 π}{3} - \sqrt{3})$

Étape 6.3.8

Appliquez la propriété distributive.

$4 π \frac{2 π}{3} + 4 π (- \sqrt{3})$

Étape 6.3.9

Multipliez $4 π \frac{2 π}{3}$ .

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Étape 6.3.9.1

Associez $\frac{2 π}{3}$ et $4$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{3} π + 4 π (- \sqrt{3})$

Étape 6.3.9.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{8 π}{3} π + 4 π (- \sqrt{3})$

Étape 6.3.9.3

Associez $\frac{8 π}{3}$ et $π$ .

$\frac{8 π π}{3} + 4 π (- \sqrt{3})$

Étape 6.3.9.4

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$\frac{8 (π^{1} π)}{3} + 4 π (- \sqrt{3})$

Étape 6.3.9.5

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$\frac{8 (π^{1} π^{1})}{3} + 4 π (- \sqrt{3})$

Étape 6.3.9.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{8 π^{1 + 1}}{3} + 4 π (- \sqrt{3})$

Étape 6.3.9.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{8 π^{2}}{3} + 4 π (- \sqrt{3})$

Étape 6.3.10

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{8 π^{2}}{3} - 4 π \sqrt{3}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{8 π^{2}}{3} - 4 π \sqrt{3}$

Forme décimale :

$4.55335269 \dots$