Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} x + \cos (x) d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} x d x + \int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

Étape 2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} + \int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

Étape 3

L’intégrale de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $\sin (x)$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} + \sin (x)]_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Associez $\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}}$ et $\sin (x)]_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + \sin (x)]_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}}$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{1}{2} x^{2} + \sin (x)$ sur $\frac{π}{2}$ et sur $\frac{π}{3}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} + \sin (\frac{π}{2}) - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{3})}^{2} + \sin (\frac{π}{3}))$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{3})}^{2} + \sin (\frac{π}{3}))$

Étape 4.3.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{3})}^{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 4.4

Simplifiez

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Étape 4.4.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π^{2}}{2^{2}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{3})}^{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 4.4.2

Associez.

$\frac{1 π^{2}}{2 \cdot 2^{2}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{3})}^{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 4.4.3

Multipliez $π^{2}$ par $1$ .

$\frac{π^{2}}{2 \cdot 2^{2}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{3})}^{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 4.4.4

Multipliez $2$ par $2^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.4.4.1

Multipliez $2$ par $2^{2}$ .

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Étape 4.4.4.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$\frac{π^{2}}{2^{1} \cdot 2^{2}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{3})}^{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 4.4.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{π^{2}}{2^{1 + 2}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{3})}^{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 4.4.4.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{3})}^{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 4.4.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{π}{3}$ .

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{1}{2} \cdot \frac{π^{2}}{3^{2}} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 4.4.6

Associez.

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{1 π^{2}}{2 \cdot 3^{2}} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 4.4.7

Multipliez $π^{2}$ par $1$ .

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{π^{2}}{2 \cdot 3^{2}} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 4.4.8

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{π^{2}}{2 \cdot 9} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 4.4.9

Multipliez $2$ par $9$ .

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{π^{2}}{18} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 4.4.10

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - \frac{π^{2}}{18} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4.4.11

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{π^{2}}{8} + 1 - \frac{π^{2}}{18} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4.4.12

Pour écrire $\frac{π^{2}}{8}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{π^{2}}{8} \cdot \frac{9}{9} - \frac{π^{2}}{18} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4.4.13

Pour écrire $- \frac{π^{2}}{18}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π^{2}}{8} \cdot \frac{9}{9} - \frac{π^{2}}{18} \cdot \frac{4}{4} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4.4.14

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $72$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.4.14.1

Multipliez $\frac{π^{2}}{8}$ par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{π^{2} \cdot 9}{8 \cdot 9} - \frac{π^{2}}{18} \cdot \frac{4}{4} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4.4.14.2

Multipliez $8$ par $9$ .

$\frac{π^{2} \cdot 9}{72} - \frac{π^{2}}{18} \cdot \frac{4}{4} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4.4.14.3

Multipliez $\frac{π^{2}}{18}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π^{2} \cdot 9}{72} - \frac{π^{2} \cdot 4}{18 \cdot 4} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4.4.14.4

Multipliez $18$ par $4$ .

$\frac{π^{2} \cdot 9}{72} - \frac{π^{2} \cdot 4}{72} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4.4.15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π^{2} \cdot 9 - π^{2} \cdot 4}{72} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4.4.16

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{π^{2} \cdot 9 - π^{2} \cdot 4}{72} + \frac{72}{72} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4.4.17

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π^{2} \cdot 9 - π^{2} \cdot 4 + 72}{72} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4.4.18

Pour écrire $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{36}{36}$ .

$\frac{π^{2} \cdot 9 - π^{2} \cdot 4 + 72}{72} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{36}{36}$

Étape 4.4.19

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $72$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.4.19.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $\frac{36}{36}$ .

$\frac{π^{2} \cdot 9 - π^{2} \cdot 4 + 72}{72} - \frac{\sqrt{3} \cdot 36}{2 \cdot 36}$

Étape 4.4.19.2

Multipliez $2$ par $36$ .

$\frac{π^{2} \cdot 9 - π^{2} \cdot 4 + 72}{72} - \frac{\sqrt{3} \cdot 36}{72}$

Étape 4.4.20

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π^{2} \cdot 9 - π^{2} \cdot 4 + 72 - \sqrt{3} \cdot 36}{72}$

Étape 4.4.21

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{π^{2} \cdot 9 - 4 π^{2} + 72 - \sqrt{3} \cdot 36}{72}$

Étape 4.4.22

Multipliez $36$ par $- 1$ .

$\frac{π^{2} \cdot 9 - 4 π^{2} + 72 - 36 \sqrt{3}}{72}$

Étape 4.4.23

Soustrayez $4 π^{2}$ de $π^{2} \cdot 9$ .

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Étape 4.4.23.1

Remettez dans l’ordre $π^{2}$ et $9$ .

$\frac{9 \cdot π^{2} - 4 π^{2} + 72 - 36 \sqrt{3}}{72}$

Étape 4.4.23.2

Soustrayez $4 π^{2}$ de $9 \cdot π^{2}$ .

$\frac{5 \cdot π^{2} + 72 - 36 \sqrt{3}}{72}$

$\frac{5 π^{2} + 72 - 36 \sqrt{3}}{72}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{5 π^{2} + 72 - 36 \sqrt{3}}{72}$

Forme décimale :

$0.81936379 \dots$