Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} x - \sin (x) d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} x d x + \int_{\frac{π}{2}}^{π} - \sin (x) d x$

Étape 2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{2}}^{π} + \int_{\frac{π}{2}}^{π} - \sin (x) d x$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{2}}^{π} - \int_{\frac{π}{2}}^{π} \sin (x) d x$

Étape 4

L’intégrale de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \cos (x)$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{2}}^{π} - (- \cos (x)]_{\frac{π}{2}}^{π})$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.1.1

Évaluez $\frac{1}{2} x^{2}$ sur $π$ et sur $\frac{π}{2}$ .

$(\frac{1}{2} π^{2}) - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} - (- \cos (x)]_{\frac{π}{2}}^{π})$

Étape 5.1.2

Évaluez $- \cos (x)$ sur $π$ et sur $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} π^{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} - (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))$

Étape 5.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $π^{2}$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} - (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} - (- \cos (π) + 0)$

Étape 5.2.2

Additionnez $- \cos (π)$ et $0$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} - - \cos (π)$

Étape 5.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} + 1 \cos (π)$

Étape 5.2.4

Multipliez $\cos (π)$ par $1$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} + \cos (π)$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{π^{2}}{2^{2}} + \cos (π)$

Étape 5.3.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{π^{2}}{4} + \cos (π)$

Étape 5.3.3

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot \frac{π^{2}}{4}$ .

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Étape 5.3.3.1

Multipliez $\frac{π^{2}}{4}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{π^{2}}{4 \cdot 2} + \cos (π)$

Étape 5.3.3.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{π^{2}}{8} + \cos (π)$

Étape 5.3.4

Pour écrire $\frac{π^{2}}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π^{2}}{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π^{2}}{8} + \cos (π)$

Étape 5.3.5

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.3.5.1

Multipliez $\frac{π^{2}}{2}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π^{2} \cdot 4}{2 \cdot 4} - \frac{π^{2}}{8} + \cos (π)$

Étape 5.3.5.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{π^{2} \cdot 4}{8} - \frac{π^{2}}{8} + \cos (π)$

Étape 5.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π^{2} \cdot 4 - π^{2}}{8} + \cos (π)$

Étape 5.3.7

Soustrayez $π^{2}$ de $π^{2} \cdot 4$ .

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Étape 5.3.7.1

Remettez dans l’ordre $π^{2}$ et $4$ .

$\frac{4 \cdot π^{2} - π^{2}}{8} + \cos (π)$

Étape 5.3.7.2

Soustrayez $π^{2}$ de $4 \cdot π^{2}$ .

$\frac{3 \cdot π^{2}}{8} + \cos (π)$

$\frac{3 π^{2}}{8} + \cos (π)$

Étape 6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$\frac{3 π^{2}}{8} - \cos (0)$

Étape 6.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{3 π^{2}}{8} - 1 \cdot 1$

Étape 6.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{3 π^{2}}{8} - 1$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{3 π^{2}}{8} - 1$

Forme décimale :

$2.70110165 \dots$