Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{6}} \cos (2 x) - \sin (x) d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{6}} \cos (2 x) d x + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{6}} - \sin (x) d x$

Étape 2

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 2.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

Étape 2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{π}{2}$ dans le numérateur.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Étape 2.3.2

Annulez le facteur commun.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Étape 2.3.3

Réécrivez l’expression.

$u_{lower} = - π$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{6}$

Étape 2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (3)}$

Étape 2.5.2

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

Étape 2.5.3

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Étape 2.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Étape 2.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{- π}^{\frac{π}{3}} \cos (u) \frac{1}{2} d u + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{6}} - \sin (x) d x$

Étape 3

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int_{- π}^{\frac{π}{3}} \frac{\cos (u)}{2} d u + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{6}} - \sin (x) d x$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{- π}^{\frac{π}{3}} \cos (u) d u + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{6}} - \sin (x) d x$

Étape 5

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{\frac{π}{3}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{6}} - \sin (x) d x$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{\frac{π}{3}} - \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{6}} \sin (x) d x$

Étape 7

L’intégrale de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \cos (x)$ .

$\frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{\frac{π}{3}} - (- \cos (x)]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{6}})$

Étape 8

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.1

Évaluez $\sin (u)$ sur $\frac{π}{3}$ et sur $- π$ .

$\frac{1}{2} ((\sin (\frac{π}{3})) - \sin (- π)) - (- \cos (x)]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{6}})$

Étape 8.2

Évaluez $- \cos (x)$ sur $\frac{π}{6}$ et sur $- \frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} ((\sin (\frac{π}{3})) - \sin (- π)) - ((- \cos (\frac{π}{6})) + \cos (- \frac{π}{2}))$

Étape 8.3

Supprimez les parenthèses.

$\frac{1}{2} (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (- π)) - (- \cos (\frac{π}{6}) + \cos (- \frac{π}{2}))$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (- π)) - (- \cos (\frac{π}{6}) + \cos (- \frac{π}{2}))$

Étape 9.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (- π)) - (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (- \frac{π}{2}))$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (0)) - (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (- \frac{π}{2}))$

Étape 10.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - 0) - (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (- \frac{π}{2}))$

Étape 10.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} + 0) - (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (- \frac{π}{2}))$

Étape 10.4

Additionnez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (- \frac{π}{2}))$

Étape 10.5

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 10.5.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2} - (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (- \frac{π}{2}))$

Étape 10.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{4} - (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (- \frac{π}{2}))$

Étape 10.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.6.1

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{\sqrt{3}}{4} - (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{3 π}{2}))$

Étape 10.6.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{\sqrt{3}}{4} - (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{π}{2}))$

Étape 10.6.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$\frac{\sqrt{3}}{4} - (- \frac{\sqrt{3}}{2} + 0)$

Étape 10.7

Additionnez $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ et $0$ .

$\frac{\sqrt{3}}{4} - - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 10.8

Multipliez $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 10.8.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{4} + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 10.8.2

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 10.9

Pour écrire $\frac{\sqrt{3}}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 10.10

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 10.10.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Étape 10.10.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{4}$

Étape 10.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2}{4}$

Étape 10.12

Réorganisez les facteurs de $\sqrt{3} \cdot 2$ .

$\frac{\sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}{4}$

Étape 10.13

Additionnez $\sqrt{3}$ et $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{4}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{3 \sqrt{3}}{4}$

Forme décimale :

$1.29903810 \dots$